固定した標的に向けて銃を発砲するとき，銃弾の命中点の分布を考えるのが２次元標的問題です．この問題は任意の次元に拡張して考えることができます．ここで，確率変数ｘが標準正規分布N(0,1)に従うとき，ｘ2の分布は自由度１のχ2分布，また，ｎ個の変数ｘiがすべてN(0,1)に従うならば，Σｘi2は自由度ｎのχ2分布になります．すなわち，χ2分布は距離の２乗の和の分布と考えることができますが，そもそも，距離の２乗の和にとくに具体的な意味があるようには思えません．むしろ，２乗を取り去って距離の分布としたほうが問題としては自然です．そこで，χ2分布の平方根分布（χ分布）について考えてみることが必要になります．

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（χ分布の密度関数）

　自由度ｎのχ2分布の確率密度関数

f(x)=1/{2^(n/2)Γ(n/2)}･(x)^(n/2-1)･exp(-x/2)　　 0≦x＜∞

において，x=y2と変数変換すると，dx=2ydyより，χ分布の確率密度関数

f(x)=1/{2^(n/2-1)Γ(n/2)}･(x)^(n-1)･exp(-x^2/2)　　 0≦x＜∞

が得られます．

mean=2^(1/2)Γ((n+1)/2)/Γ(n/2)

variance=2Γ(n/2+1)/Γ(n/2)-{2Γ((n+1)/2)/Γ(n/2)}^2

mode=sqr(n-1)　　 (n>1)

とくに，自由度１のχ分布は

半正規分布:f(x)=1/σsqr(2/π)exp(-x^2/2σ2)

であり，この分布は期待値が０の正規分布:f(x)=1/σsqr(2π)exp(-x^2/2σ2)

をｙ軸(x=0)で折り返した分布になっています．また，自由度２のχ分布は

レイリー分布:f(x)=x/σ^2exp(-x^2/2σ2)

自由度３のχ分布は

マクスウェル分布:f(x)=2^(3/2)/σ^3x^2exp(-x^2/2σ2)

と命名されています．

　χ2分布は主として統計分野で用いられていますが，χ分布，とりわけ，レイリー分布は英国のレイリー卿が音響工学との関連でこの分布を発見したことに由来し，マクスウェル分布は気体分子の速度分布と関係した物理学上の重要な分布関数になっています．

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（χ分布と標的問題の関連）

　周辺分布がともに平均０，分散σ2の正規分布となる２次元正規分布

p(x,y)dxdy=1/2πσ2･exp(-(x2+y2)/2σ2)dxdy

において，x=rcosθ，y=rsinθと極座標変換します．ヤコビアンは

D(x,y)/D(r,θ)=r

ですから

p(x,y)dxdy=1/σ2rexp(-r2/2σ2)dr*1/2πdθ

よって，ｒとｒ＋ｄｒの間に落ちる確率は1/σ2rexp(-r2/2σ2)dr

　このようにして，レイリー分布が得られますが，言い換えれば，x1,x2が正規分布N(0,1)にしたがい，独立のとき(x12+x22)^(1/2)はレイリー分布にしたがうことになります．レイリー分布はミサイルなどが目標からｒだけ離れる分布と考えることができます．なお，振幅ｒの確率分布はレイリー分布となりましたが，一方，位相θの分布はp(θ)=1/2πすなわち一様分布となります．

　レイリー分布はワイブル分布の１種でもあり，また，自由度２のχ2分布は指数分布ですから，レイリー分布は指数分布にしたがう確率変数の平方根の分布と理解することもできます．応用面では，２次元の標的問題（ミサイルなどの目標地点と実際の着弾地点の距離分布）に適用されるほかに，通信工学分野（電気回路の雑音の特定の周波数について，振幅ｒと位相θとの組合せはレイリー分布に従う）など極めて重要な応用領域をもっています．また，ポアソン過程で生成された個々の点の最近接点(nearest neighbor)との距離の分布として，あるいはハザードレートを計算すると，h(x)=x/σ^2よりlinearly IFRの性質を持つ寿命分布のモデルとして利用されています．

　同様のことを３次元で行うと，

３次元空間の直角座標（ｘ，ｙ，ｚ）←→球面座標（ｒ，θ，φ）の座標変換は

x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosφ

ヤコビアンは

D(x,y,z)/D(r,θ,φ)=r2sinθ

　ここで，方向を表すベクトルを球面座標でｓ＝（θ，φ）とおき，

ds=sinθdθdφ,dxdydz=r^2drds

のような変換を行えば，３次元正規分布

p(x,y,z)dxdydz=sqr(2/π)σ3exp{-(x2+y2+z2)/2σ2)r2dr*1/4πds

に変換され，r2=x2+y2+z2よりマクスウェル分布が得られます．また，ｓは球面上で確率密度1/4πの一様分布をすることも理解されます．

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　マクスウェル，レイリーの後，ミラーが多次元正規分布での原点からのユークリッド距離の確率分布として一般的なχ分布を導いています．ミラーにならって，任意の次元のχ分布を導いてみましょう．

　ｎ次元正規分布は

p(x1,x2,x3,･･･,xn)=1/(2π)n/2σnexp{-(x12+x2+･･･+xn2)/2σ2}

で与えられます．多次元正規分布の場合，低次元の場合とは違って，密度の裾にあたる領域に大部分のデータが存在します．また，ｎ次元ユークリッド空間の点(x1,x2,x3,･･･,xn)はｒ>0,0≦θ1,θ2,･･･,θn-2≦π,0≦θn-1≦2πを満たすｒ,θ1,θ2,･･･,θn-1によって，

x1=rcosθ1

x2=rsinθ1cosθ2

x3=rsinθ1sinθ2cosθ3

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xn-1=rsinθ1sinθ2･･･sinθn-2cosθn-1

xn=rsinθ1sinθ2･･･sinθn-2sinθn-1

と表すことができます（ただし，ｎ＝２のときは，周知のとおり，ｘ1＝ｒｃｏｓθ1，ｘ2＝ｒｓｉｎθ1とする）．

（ｒ,θ1,θ2,･･･,θn-1）がｎ次元極座標で，そのとき，ヤコビアンD(x1,･･･,xn)/D(r,θ1,･･･,θn-1)は

ｒ^(n-1)sin^(n-2)θ1･･･sin^2θn-3sinθn-2

となりますから，同様にして

ds=sin^(n-2)θ1･･･sin^2θn-3sinθn-2dθ1dθ2･･･dθn-1

dx1dx2･･･dxn=ｒ^(n-1)drds

　ここで，ｎ次元単位超球の表面積をＳn-1=ｎＶnで表すと，(2*π^(n/2))/Γ(n/2)はｎ次元単位超球の表面積であり，

p(x1,x2,x3,･･･,xn)dx1dx2･･･dxn=nVn/(2π)n/2σnexp{-r2/2σ2}r^(n-1)dr1/nVnds

Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)より

p(x1,x2,x3,･･･,xn)dx1dx2･･･dxn=1/(2^(n/2-1)Γ(n/2))σnexp{-r2/2σ２}r^(n-1)dr*Γ(n/2)/(2*π^(n/2))ds が得られます．したがって，

1/(2^(n/2-1)Γ(n/2))σnexp{-r2/2σ２}r^(n-1)

がχ分布の密度関数となります．

　このような理由から，近年，χ分布は一般化されたレイリー分布（generalized Rayleigh distribution）として論文にも引用されることが多くなっています．χ分布はとくに電気通信分野で広い応用範囲を有して，その分野ではｍ分布とも呼ばれています．

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