【ガンマ関数】

Γ(x)=integral(0,∞)t^(x-1)e^(-t)dt x>0

無限積分Γ(x)をｘの関数とみてガンマ関数といいます。

Γ(1)=integral(0,∞)e^(-t)dt=1

Γ(1/2)＝integral(0,∞)t^(-1/2)e^(-t)dt

ここで、t=u2とおくとintegral(0,∞)e^(-u2/2)du=√π/2（ガウス積分）より

Γ(1/2)＝√π

が得られます。

オイラーの第２積分とも呼ばれるガンマ関数Γ(x)には、Γ(x+1)=xΓ(x)の関係があり、次のような漸化式が成り立ちます。

Γ(x+1)=xΓ(x)=x(x-1)Γ(x-1)=････

したがって、ｘが正の整数ｎのときにはΓ(n+1)=n!が成り立ち、ガンマ関数は階乗の一般形となっていることがわかります。また、半整数のときには、Γ(n+1/2)=(2n)!/{2^(2n)n!}√πです。なお、ガンマ関数Γ(x)はx>0について微分可能で、x=1.4616321449･･･で最小となります。

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（ガンマ関数と超球との関係）

　ガウス積分

I=integral(-∞,∞)exp(-x2)dx=√π

をｎ次元に拡張し、

I=integral(-∞,∞)exp(-x12+x22+･･･+xn2)dx1dx2･･･dxn

を考えるとintegral(-∞,∞)exp(-x2)dx=√πより、直ちに

I=π^(n/2)

を得ることができます。

　ここで、ｎ次元ガウス積分を別の方法で求めてみます。球に相当するｎ次元の図形を超球と呼びます。ｎ次元単位超球{x12+x22+･･･+xn2≦1}の体積をｖnとすると、ｖ1=2（直径）,ｖ2=π（面積）,ｖ3=4π/3（体積）はご存知でしょう。

　半径ｒのｎ次元球の体積はｖnr^n，表面積はrＶnr^(n-1)となります。ガウス積分の被積分関数を原点を中心とする半径ｒの球面上で積分し、次にｒ＝０からｒ＝∞まで積分します。半径ｒの球面上で被積分関数は一定値exp(-r2)をとり、表面積はnＶnr^(n-1)ですから、

I=integral(0,∞)exp(-r2)nＶnr^(n-1)dr

=nＶnintegral(0,∞)r^(n-1)exp(-r2)dr

z=r2と変数変換するとdz=2rdrより

I=nＶn/2integral(0,∞)z^(n/2-1)exp(-z)dz

=Ｖnn/2Γ(n/2)

=ＶnΓ(n/2+1)

したがって、

Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)

を得ることができます。これは形式的に

Ｖn=π^(n/2)/(n/2)！

と書くことができます。

ｎが整数のとき、実際にこの値を計算してみると、超球の体積はｎ＝５のとき最大５．２６・・・となり、以後は減少します。

１次元 ２次元 ３次元 ４次元 ５次元 ６次元

　2 3.1 4.1 4.9 5.263 5.1

（次元を整数に限らなければ５．２５６次元で最大となり、そのときの体積は5.277･･･である。）また、これより、ｄ次元単位超立方体[-1,1]^dにおいて、単位超球が占める比率は、ｄ＝２であればπ／４(79%)であるが、ｄ＝５のときは16%に下落し、ｄ＝１０となると0.25%になることも理解されます。すなわち、高次元において、超立方体内に一様分布する標本を考えるとき、低次元の場合とは対照的に、大部分のデータは超球外に位置することになります。

　なお、（ｎ−１）次元の場合の値ｖn-1がわかればｖnは漸加式：

ｖn/ｖn-1=Γ(1/2)Γ{(n+1)/2}/Γ(n/2+1)=B(1/2,(n+1)/2)

によって求めることができます。比ｖn-1/ｖn-2=B(1/2,n/2)は自由度ｎのｔ分布の定数であり、実際、フィッシャーはｎ個の観測値の標本平均と母平均の差（距離）を標本標準偏差で割った統計量ｔの分布をｎ次元ユークリッド空間を使って導きだしています。

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