３^2＋４^2＝５^2

については、直角を挟む辺が３と４であれば斜辺は５であることを意味している

　　３^3＋４^3＋５^3＝６^3

ですが，その意味については明らかではありません。しかし、それを満たす実体が存在するようです。

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　ｐ進数体Ｑpでの問題です．

［Ｑ］３ｘ^3＋４ｙ^3＋５ｚ^3＝０，ｘｙｚ≠０を満たす実数の組（ｘ，ｙ，ｚ）は存在するか？

［Ａ］存在する．

［Ｑ］３ｘ^3＋４ｙ^3＋５ｚ^3＝０，ｘｙｚ≠０を満たす有理数の組（ｘ，ｙ，ｚ）は存在するか？

［Ａ］存在しない．

［Ｑ］３ｘ^3＋４ｙ^3＋５ｚ^3＝０，ｘｙｚ≠０を満たす整数の組（ｘ，ｙ，ｚ）は存在するか？

［Ａ］存在しない．整数は有理数の一部であるからである．もちろん，３ｘ^3＋４ｙ^3＋５ｚ^3＝０　　（ｍｏｄｐ）を満たす有限体上の整数の組（ｘ，ｙ，ｚ），０≦ｘ，ｙ，ｚ≦ｎ−１も存在しない．

　しかしながら，３ｘ^3＋４ｙ^3＋５ｚ^3（ｘｙｚ≠０）はどのｐ進数体Ｑpでも０を表す．つまりどのｐに対してもｍｏｄｐで非自明解をもつという．

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　　３^4＋４^4＋５^4＋６^4＝７^4

ではありません．

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