∫(0,∞)x^3/[e^x-1]dx=π^4/15

は物理学ではよくあらわれる定積分です

　＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

（中心極限定理）

　ゼータ関数は、素数と整数、離散と連続の仲介役としてしばしば出現します。区間(0,1)の一様分布の特性関数が

φ(t)=exp(it/2)sin(t/2)/(t/2)

となることを利用して、一様乱数をｎ個合計したものの分布が、ｎ→∞の極限で正規分布になることを示してみましょう。

　一様乱数をｎ個の合計のしたものの分布の特性関数は

[φ(t)]^n=exp(int/2){sin(t/2)/(t/2)}^n

一方、

sinx/x=1-1/3!x^2+1/5!x^4-･･･

の解が±π，±２π，±３π，±４π，・・・となることを利用して、無限積表示すると

sinx/x=(1-x2/π2)(1-x2/4π2)(1-x2/9π2)(1-x2/16π2)･･･

=Π(1-x2/k2π2)

ｎ→∞の極限で

(1-x2/k2π2)^n→exp(-nx2/k2π2)

また、Σ1/k2=ζ(2)=π2/6

ですから、

{sin(t/2)/(t/2)}^n→exp(-Σnt2/4k2π2)=exp(-nt2/24)

したがって、

[φ(t)]^n→exp(int/2-nt2/24)

　正規分布Ｎ（μ，σ2）の特性関数はexp(iμt-σ2t2/2)ですから、この結果はｎ個の独立した一様乱数の和の分布は平均値ｎ／２、分散ｎ／１２の正規分布に近づくことを示しています。これを任意の分布について証明したのが、中心極限定理です。

　＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝