熱せられた物体からはさまざまな波長の電磁波が放射され、それは熱放射と呼ばれます。どのような波長の電磁波がどんな強さででてくるのか、これを熱放射のスペクトルといいます。エネルギーの量子化の概念は、熱放射に関連してプランクが提唱したのですが、これをきっかけにして量子力学の概念が体系化されたことはあまりにも有名です。あらためて、そのエピソードを記述してみます。

　１８９３年、ウィーンは物体の温度と放射される電磁波の波長の積は一定になるという関係を導きました。さらに、１８９６年、熱放射のエネルギーを式を物体の温度と放射される電磁波の波長の関数として分布式を計算しましたが、この分布式は長波長側（赤外線領域）で実験結果と食い違っていることが判明しました。一方、イギリスのレイリーとジーンズの式は、波長の長いところでは実際のスペクトルとよくあうのですが、短い波長に対しては計算したエネルギーの強度は際限なく大きくなってしまい、まったく実験とあわないのです。

　そこで、プランクは早速見直しにとりかかり、全波長領域にわたって測定結果と一致する式を導出することに成功したのです（１９００年）。プランクは式を導出する過程で熱放射のエネルギーは不連続の値を取るという条件を設定したのですが、このような条件を設定しないと、計算の途中で式が無限大に発散するからです。これがエネルギー量子仮説ですが、プランクは自分の息子に「私はニュートンに匹敵する発見をしたらしい」と語り、量子仮説の重大さを訴えたことが伝えられています。

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　熱放射に関するプランク分布は、数学的にみるとゼータ関数・ガンマ関数と関連しています。プランク分布の確率密度関数

f(x)=cx^3/[e^x-1]

c=1/[Γ(4)ζ(4)]=15/π^4

は物理的には３種類ある統計力学のひとつ：ＢＥ統計の代表的な現象を表す分布として知られています。

　ガンマ分布と似ていますが、分母から１を引いた式になっていることがミソとなって、ゼータ関数が登場してきます。分母から１を引いた形は無限等比級数

１＋ｘ＋ｘ2 ＋ｘ3 ＋・・・１／（１−ｘ）

を思い起こさせますが、実はそれがｈνの整数倍ｎｈνと深く関係するエネルギーの和であることを示しているのです。ベルヌーイ数｛Ｂn｝の指数型母関数x/[e^x-1]と非常によく似た形で与えられるといったほうがわかりやすいかもしれません。

　この分布をさらに拡張させると、一般化プランク分布が得られます。その確率密度関数は、以下の式で表されます。

f(x)=cx^n/[e^x-1]

c=1/[Γ(n+1)ζ(n+1)]

このように、一般化プランク分布にはゼータ関数やガンマ関数が出現しますが、上記のプランク分布はn=3の場合に相当します。また、２次までの積率は

μ1'=(n+1)ζ(n+2)/ζ(n+1)

μ2'=(n+1)(n+2)ζ(n+3)/ζ(n+1)

となりますが、さらに高次の積率は

integral(0,∞)x^n/[e^x-1]=Γ(n+1)ζ(n+1)

から求めることができます。

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