（Ｑ）与えられた円（半径Ｒ）の内部に互いに外接する３個の等円（半径ｒ）があるとき，ｒを求めよ．

（Ａ）この場合は

（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3＋１／ｒ）^2＝２（１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2＋１／ｒ3^2＋１／ｒ^2）

において，ｒ1＝ｒ2＝ｒ3＝ｒ，ｒ＝−Ｒとする．　→　ｒ＝（２√３−３）Ｒ

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（Ｑ）与えられた3円（半径Ｒ）の外部に3円に接する円（半径ｒ）があるとき，ｒを求めよ．

正三角形の重心を中心とする半径ｒの円があるので、ピタゴラスの定理を使っても解けますが、デカルトの円定理を使うと

（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3＋１／ｒ）^2＝２（１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2＋１／ｒ3^2＋１／ｒ^2）

において，ｒ1＝ｒ2＝ｒ3＝R，

(3/R+1/r)^2=6/R^2+2/r^2

1/r^2-6/R・1/r+6/R^2-9/R^2=0

1/r^2-6/R・1/r-3/R^2=0

1/r=3/R+{9/R^2+3/R^2}^1/2

1/r=(3+2√3)/Rが得られる

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さらに変形させると

1/r^2+1/R^2+1/R^2+1/R^2-2/rR-2/rR-2/rR-2/R^2-2/R^2-2/R^2=0

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