（Ｑ）与えられた円（半径Ｒ）の内部に互いに外接する３個の等円（半径ｒ）があるとき，ｒを求めよ．

（Ａ）この場合は

（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3＋１／ｒ）^2＝２（１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2＋１／ｒ3^2＋１／ｒ^2）

において，ｒ1＝ｒ2＝ｒ3＝ｒ，ｒ＝−Ｒとする．　→　ｒ＝（２√３−３）Ｒ

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r3が半径∞の場合(つまり直線)、ピタゴラスの定理を使っても解けますが、デカルトの円定理を使うと

（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ）^2＝２（１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2＋１／ｒ^2）

１／ｒ^2-2(１／ｒ1＋１／ｒ2)1/r+2(１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2)-(１／ｒ1＋１／ｒ2)^2=0

１／ｒ^2-2(１／ｒ1＋１／ｒ2)1/r+(１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2)-(2／ｒ1ｒ2)^2=0

1/r=(１／ｒ1＋１／ｒ2)+{(１／ｒ1＋１／ｒ2)^2-(１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2)+(2／ｒ1ｒ2)^2}^1/2

1/r=(１／ｒ1＋１／ｒ2)+2/r1r2=(1/√r1+1/√r2)^2

1/√r=1/√r1+1/√r2が得られる

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さらに変形させると

1/r^2+1/r1^2+1/r2^2-2/rr1-2/r1r2-2/r2r=0

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