フェドロフの平行多面体とは平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体であって，平行辺（したがって平行四辺形面，平行六辺形面に限られる），平行面から構成されている多面体である．フェドロフの平行多面体には立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂８面体の５種類しかないことが証明されている（１８８５年）．

　平行多面体による空間充填形はもっと高い次元の立方格子の３次元への射影になっている．平行多面体のうち１４面体は切頂８面体だけであるが，切頂八面体には６組の平行な辺があり，６次元立方体と相同と考えることができる．切頂８面体（ｆ＝１４，ｄ＝６）の辺を点に縮めることによって，長菱形１２面体（ｆ＝１２，ｄ＝５）→菱形１２面体（ｆ＝１２，ｄ＝４），６角柱（ｆ＝８，ｄ＝４）→立方体（ｆ＝６，ｄ＝３）ができる．すなわち，６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものとなっていて，空間充填図形の基本形は切頂８面体と考えることができる．

　平行多面体５種は６次元立方体の投影図から適当に線を間引いくことによって得ることができるのであるが，この方法は菱形ｎ（ｎ−１）面体の一部の辺を平面上に押しつぶすことと等価である．菱形のすべての稜は２方向，菱形六面体のすべての稜は３方向，菱形十二面体では４方向，菱形三十面体では６方向，菱形二十面体では５方向，菱形十二面体（第２種）では４方向を向いている．

切頂８面体　　　　　　←→　　６次元立方体　←→　菱形三十面体

長菱形１２面体　　　　←→　　５次元立方体　←→　菱形二十面体

菱形１２面体・６角柱　←→　　４次元立方体　←→　菱形十二面体（第２種）

立方体　　　　　　　　←→　　３次元立方体　←→　菱形六面体

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【１】位相幾何学的菱形３０面体

　この対応により，たとえば，菱形３０面体の一部の辺を平面上に押しつぶすことにより切頂八面体に変形することができる．逆にいうと，切頂八面体の六角形面を菱形に３分割することによって，位相幾何学的には菱形３０面体と等価になる．

　写真は，中川宏さん製作の位相幾何学的菱形３０面体である．

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【２】位相幾何学的正１２面体（ヒルベルト）

　立方体の正方形面を２分割するのであるが，その際，分割方向を直交３方向にとると，位相幾何学的には正１２面体と等価になる．

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【３】位相幾何学的正２０面体（コクセター）

　立方八面体の正方形面を２分割するのであるが，その際，分割方向を直交３方向にとると，位相幾何学的には正２０面体と等価になる．

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