正軸体系の（１，・・・，１，０）は単純多面体で，その座標は，
（０，±１，±２，・・・，±ｎ－１）
の置換２^n-1・ｎ！個であることがわかる．たとえば，ｎ＝４の場合，
（０，±１，±２，，±３）→１９２個
単純多面体であるから，辺数はｎ／２・２^n-1・ｎ！，ファセット数は３^n－１－２^(n-1)ｎと準正多面体である．
［Ｑ］これ以外に整数多面体となる準多面体は存在するだろうか？
正軸体系では立方体・正軸体以外の整数多面体を構成したので，正単体系の整数多面体が存在するかどうか，調べてみよう．
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【１】置換多面体の切頂・切稜点（その１）
Ｐ0（０，・・・，０）
Ｐ1（ａ1，０，・・・，０）
Ｐ2（ａ1，ａ2，０，・・・，０）
・・・・・・・・・・・・・
Ｐn（ａ1，・・・，ａn）
ａj＝√（１／２ｊ（ｊ＋１））
ｘj／ａj＝ｙj，ｙ0＝１，ｙn＝０（ｘn＝０）
とおく．
１／ａj-1^2＋１／ａj^2＝２（ｊ－１）ｊ＋２ｊ（ｊ＋１）＝（２ｊ）^2
より
（ｙj-1－ｙj）／（１／ａj-1^2＋１／ａj^2）^1/2＝（ｙj－ｙj+1）／（１／ａj^2＋１／ａj+1^2）^1/2
は
（ｙj-1－ｙj）／２ｊ＝（ｙj－ｙj+1）／２（ｊ＋１）
となる．
点Ｑ（ｘ1，ｘ2，・・・，ｘn-1，０）から，
ｘ1＝ａ1平面
ｘ1／ａ1－ｘ2／ａ2＝０平面
・・・・・・・・・・・・・・・
ｘn-2／ａn-2－ｘn-1／ａn-1＝０平面
までの距離が等しいことより，
（ｙ0－ｙ1）＝（ｙ1－ｙ2）／２＝（ｙ2－ｙ3）／３＝・・・＝（ｙn-2－ｙn-1）／（ｎ－１）＝（ｙn-1－ｙn）／ｎ
２（ｙ0－ｙ1）＝（ｙ1－ｙ2）
３（ｙ1－ｙ2）＝２（ｙ2－ｙ3）
４（ｙ2－ｙ3）＝３（ｙ3－ｙ4）
・・・・・・・・・・・・・・・
（ｎ－１）（ｙn-3－ｙn-2）＝（ｎ－２）（ｙn-2－ｙn-1）
ｎ（ｙn-2－ｙn-1）＝（ｎ－１）（ｙn-1－ｙn）
第ｘ行まで足しあわせて整理すると
２（ｙ0－ｙn-1）＝（ｎ－１）（ｙn-1－ｙn）→ｙn-1＝（２ｙ0＋（ｎ－１）ｙn）／（ｎ＋１）
２（ｙ0－ｙn-2）＝（ｎ－２）（ｙn-2－ｙn-1）→ｙn-2＝（２ｙ0＋（ｎ－２）ｙn-1）／ｎ
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
２（ｙ0－ｙ2）＝２（ｙ2－ｙ3）→ｙ2＝（２ｙ0＋２ｙ3）／４
２（ｙ0－ｙ1）＝（ｙ1－ｙ2）→ｙ1＝（２ｙ0＋ｙ2）／３
具体的には
ｙn-1＝２／（ｎ＋１）
ｙn-2＝（２＋２（ｎ－２）／（ｎ＋１））／ｎ＝２（２ｎ－１）／ｎ（ｎ＋１）
ｙn-3＝２（１＋（ｎ－３）（２ｎ－１）／ｎ（ｎ＋１））／（ｎ－１）＝２（２ｎ－１）／ｎ（ｎ＋１）＝６（ｎ－１）／ｎ（ｎ＋１）
となるが，
ｙj＝（２＋ｊｙj+1）／（ｊ＋２）
のままにしておく．
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【２】置換多面体の切頂・切稜点（その２）
とはいっても，このままでは難しいので，反転公式を作ると，
（ｊ＋２）ｙj＝２＋ｊｙj+1
（ｊ＋２）ｙj－２＝ｊｙj+1
ｙj+1＝（（ｊ＋２）ｙj－２）／ｊ
しかし，これはｊ＝０には対応していない．
そこで，
（ｙ0－ｙ1）＝（ｙ1－ｙ2）／２＝（ｙ2－ｙ3）／３＝・・・＝（ｙn-2－ｙn-1）／（ｎ－１）＝（ｙn-1－ｙn）／ｎ＝２／ｎ（ｎ＋１）
を用いると
１－ｙ1＝２／ｎ（ｎ＋１）
ｙ1－ｙ2＝２・２／ｎ（ｎ＋１）
ｙ2－ｙ3＝２・３／ｎ（ｎ＋１）
ｙn-2－ｙn-1＝２・（ｎ－１）／ｎ（ｎ＋１）
ｙn-1－ｙn＝２・ｎ／ｎ（ｎ＋１）＝２／（ｎ＋１）
が得られる．
これは，
ｙn-2＝（２＋２（ｎ－２）／（ｎ＋１））／ｎ＝２（２ｎ－１）／ｎ（ｎ＋１）
ｙn-3＝２（１＋（ｎ－３）（２ｎ－１）／ｎ（ｎ＋１））／（ｎ－１）＝２（２ｎ－１）／ｎ（ｎ＋１）＝６（ｎ－１）／ｎ（ｎ＋１）
も満たしているはずである．
ｙn-2－ｙn-1＝２（２ｎ－１）／ｎ（ｎ＋１）－２／（ｎ＋１）＝２（ｎ－１）／ｎ（ｎ＋１）
ｙn-3－ｙn-2＝６（ｎ－１）／ｎ（ｎ＋１）＝２（２ｎ－１）／ｎ（ｎ＋１）＝２（ｎ－２）／ｎ（ｎ＋１）
さらに，これらをｘｘ行まで足しあわせると，
１－ｙ1＝２（１）／ｎ（ｎ＋１）
１－ｙ2＝２（１＋２）／ｎ（ｎ＋１）
１－ｙ3＝２（１＋２＋３）／ｎ（ｎ＋１）
１－ｙn＝２（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）／ｎ（ｎ＋１）＝１
ｙ1＝１－１・２／ｎ（ｎ＋１）
ｙ2＝１－２・３／ｎ（ｎ＋１）
ｙ3＝１－３・４／ｎ（ｎ＋１）
ｙn＝１－ｎ（ｎ＋１）／ｎ（ｎ＋１）＝０
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