【１】中心極限定理

　キュムラント母関数を用いて，「独立な確率変数xiがいずれも同一の平均値μと分散σ2をもつような任意の分布に対して，その標本平均の確率分布はｎ→∞の極限で正規分布Ｎ（μ，σ^2／ｎ）になる」を証明してみましょう．

（証明）独立な確率変数xiがいずれも同一の平均値μ，分散σ^2と積率母関数M(t)をもつものとすると，ｎ個の変数の和ｓ＝ｘ1＋ｘ2＋・・・＋ｘnの積率母関数は，

M(t)=[Mx(t)]^n

したがって，z=ｓ／√(n)とすると，その積率母関数は

Mz(t)=[Mx(t/√(n))]^n

これよりｚのキュムラント母関数は

nlogMx(t/√(n))=n{κ1t/√(n)+κ2/2t^2/n+κ3/6(t/√(n))^3+･･･}

=√(n)μt+σ2/2t^2+κ3/6t^3/√(n)+･･･

　ｒ次のキュムラントはκrn^(-r/2+1)となって，ｎ→∞のとき，３次以上のキュムラントが０に近づく．すなわち，ｓ／√ｎはＮ（√ｎμ，σ2）に収束する．（厳密な証明ではありません）

　このような内容の定理を「中心極限定理」といい，自然界における正規分布の普遍性を説明する１つの根拠とされています．中心極限定理にはいろいろなバリエーションがあり，ｓ＝（ｘ1＋ｘ2＋・・・＋ｘn）とすると，標本平均ｓ／ｎが適当な条件のもとで正規分布Ｎ（μ，σ^2／ｎ）に，ｓ／√ｎがＮ（√ｎμ，σ2）に，あるいはｓがＮ（ｎμ，ｎσ2）に収束することを示したものの総称です．

　たくさんの確率変数の和は，各々の確率分布の形によらず，普遍的な正規分布に従うという事実は，いい換えれば，巨視的なアウトラインは微視的なディテールには依存せず，平均値や分散など大まかな性質だけで決まってしまうというものであり，量子論におけるくりこみの考え方に似ています．すなわち，中間状態のたし上げは１種の平均操作であり，その結果，微視的なディテールは見えなくなって，巨視的に意味のあるものだけが残るのだと考えられます．

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【２】中心極限定理を利用した正規乱数発生法

　一様乱数をもとに正規乱数を発生させる具体的な方法を述べてみます．中心極限定理によって，区間（０，１）の一様乱数ｒi（平均１／２，分散１／１２） をｎ個合計したものの分布は平均値μがｎ／２，分散σ^2がｎ／１２の正規分布に近くなりますから，正規化してＺ＝√１２／ｎ（Σｒi−ｎ／２）とおけば，Ｚの分布は標準正規分布Ｎ（０，１）となります．そこで，１２個の一様乱数を加えることにすると平方根の計算をしないで済みます．

　　Ｚ＝（Σｒi−６）　　　　（ｉ＝１〜１２）

　実際，一様分布に従う確率変数１２個ずつの平均をとり１００個のデータから構成したヒストグラムは元の一様分布とは似ても似つかない滑らかな分布となります．なお，中心極限定理を利用した正規乱数発生法は，１２個の一様乱数から１個の正規乱数が得られる効率のよくない方法で，それに比べ，ボックス・ミューラー法はかなり効率がよくなっています．

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【３】その他の分布特性値

　確率分布の位置情報に対応する指標としての平均値は重要な統計量です．一方，尺度情報（散らばり）に対応する指標としては標準偏差・分散が分布全体を要約する重要な統計量になっています．しかし，平均値といっても，算術平均の他に幾何平均，調和平均があり，また，代表値といえば算術平均がまずあげられますが，中央値，最頻値も忘れてはなりません．尺度情報についても，たった１つの数で表現できるはずもなく，他にもばらつきの度合い（散布度）を反映する統計量が考えられています．

［１］位置情報に関する特性値

(1)中央値median

　F(X)=.5すなわち全体の半分である点で，中位数（５０％点）とも呼ばれます．中央値μmでは

　　∫(a,μm)f(x)dx=∫(μm,b)f(x)dx＝１／２

が成り立ちます．

(2)最頻値mode

　確率密度関数p(x)が最大点を示すｘ座標はモードといわれます．単峰で尖点のない分布の場合はdf(x)/dx=0の根が最大確率を示すｘ座標であり，d2f(x)/dx2<0を満たします．

　左右対称形の分布では平均，メジアン，モードは一致しますが，一峰性の非対称分布において平均値，中央値，最頻値は一致せず，右に裾を引くゆがんだ（right skewed）分布ではモード＜メジアン＜平均，負のゆがみ（左に長いすそ：left skewed）を示す場合は最頻値＞中央値＞平均値になります．それぞれ，mean,median,modeを辞書式に配列させると昇順・降順になっています．

［２］尺度情報に関する特性値

(1)平均偏差

　平均値からの偏差（x-μ）の絶対値の平均，すなわち

E[|x-μ|]=∫(-∞,∞)|x-μ|f(x)dx

として定義される指標が平均偏差です．

　算術平均μは分散∫(-∞,∞)(x-m)2f(x)dxを最小とする統計量であるのに対し，中央値は平均偏差∫(-∞,∞)|x-m|f(x)dxを最小とする統計量です．しかし絶対値記号は数学的な扱いが面倒で，平均偏差よりも標準偏差のほうが簡単に取り扱えます．

(2)４分位偏差

　累積確率F(x)が0.25k(k=1,2,3)の点Ｑ1,Ｑ2,Ｑ3を四分位数（quartile）といいます．Q2が中央値にあたります．また，第３四分位数Ｑ3と第１四分位数Ｑ1の差は４分位偏差と呼ばれます．

　コーシー分布の場合について説明すると

　　∫f(x)dx=1/π[arctan(x-μ)/α]

ですから，１／４，２／４，３／４に等しい点を求めてみると

第１四分位数（２５％点）をＱ1=μ−α，

中央値（５０％点）Ｑ2=μ

第３四分位数（７５％点）Ｑ3=μ＋α

であることが理解されます．したがって，コーシー分布では４分位偏差は２αであり，区間［μ−α，μ＋α］にデータの５０％が集中することがわかります．

　同様に，F(x)=0.10k(k=1,2,---9)なる点１０分位数（decile）や８分位数（octile），１６分位数（hexadecile）なども考えることができます．これらの分位点は一般にquantile（fractile）とよばれます．

　話は少し脱線しますが，２つの正規変数の和の分布は別の正規分布に従います．これを正規分布は加法に関して不変（invariant）であるといいます．このとき，和変数の分散σ^2は個々の変数の分散σ1^2とσ2^2の和と等しくなります．すなわち，

　　σ^2=σ1^2+σ2^2

です．

　加算は２乗の世界（分散）で成立し，１乗の世界（標準偏差）では成立しません．このような加算が成り立つ分布は正規分布が唯一です．正規分布では標準偏差σを４分位偏差ｓで置き換えても

　　ｓ^2=ｓ1^2+ｓ2^2

は成立します．

　コーシー分布は標準偏差・分散をもたない分布をして知られていますが，quantile(fractile)の存在は保証されます．コーシー分布も加法に関して不変で，コーシー変数の和の分布は再びコーシー分布になります．そして，４分位偏差に関して

　　ｓ＝ｓ1＋ｓ2

すなわち，１乗の世界での加算が成り立ちます．

　同様にして，ブラウンノイズ関数（レヴィ分布）については，１／２乗の世界での加算

　　ｓ^1/2＝ｓ1^1/2＋ｓ2^1/2

が成り立ちます．以上まとめると

ｓ^k=ｓ1^k+ｓ2^k

k=2正規分布

k=1コーシー分布

k=1/2ブラウンノイズ関数

となります．

［補］安定分布

　多くの分布では２次モーメントまでは存在しますが，なかにはコーシー分布のように１次モーメントすら存在しない分布があります．このような分布に対しては，中心極限定理は適用できません．コーシー分布に従う独立な確率変数の和が極限分布としてどのような分布をもつだろうか？　この極限分布が存在すれば，「安定分布」と呼ばれます．

　F(a1x+b1)*F(a2x+b2)=F(ax+b)

すなわち位置=尺度母数モデルF(ax+b)の畳み込みが再びF(ax+b)となるような性質をもつ分布を安定分布（stable distribution）と呼びます．

　前述したようにすべての分布について，中心極限定理が成立するというわけではなく，平均や分散が発散するときには，中心極限定理は成立しません．（たとえば，コーシー分布）．しかし，０≦α＜２をパラメータとして，それらの和をｎ^1/αで規格化した極限が存在する分布があります．

　モーメントがα次を境として収束，発散を異にする場合，指数αの安定分布といいます．とくに指数α＝１の対称な安定分布はコーシー分布とよばれます．２≦α≦∞ならばその値に関係なく普遍的にガウス分布，０≦α＜２ならば，その値がそれぞれ個性をもち指数αの安定分布と呼ばれます．

　また，すべての安定分布は，無限分解可能な分布であり，その特性関数は，

exp(iat-c|t|^α{1+ibt/|t|ω(|t|,α)}

ω(|t|,α)=tan(πα/2) α<>1

=2/πlog|t| α=1

と表されます．b=0の安定分布は左右対称となります．

正規分布(α=2,b=0)

コーシー分布(α=1,b=0)

ブラウンノイズ関数(α=1/2,b=-1)＝レヴィ分布

(3)半値幅（FWHM:full-width at half-maximum）

　半値幅とはピークの高さの半分における幅を示しており，分布のばらつきを表わすものとして実用上便利な目安になっています．再び，コーシー分布の場合で説明すると，コーシー分布では，ｘ＝μのとき最大値１／απ，ｘ＝μ±αのとき１／（２απ）となりますから，ｆ（μ±α）は分布曲線の最大値の半分に相当します．そのためμ−αとμ＋αの距離２αを半値幅といいます．ちなみに，正規分布の半値幅は２√２ｌｎ２σ＝２．３５σになります．

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【４】その他の特性値

(1)u-統計量

un=1/(n,r)Σh(xi1,･･･,xir)

1≦i1≦･･･≦ir≦n

を満たすすべても組合わせ(i1,･･･,ir)についての和

　標本平均の一般化であり，h(x)=x(r=1)とおくと標本平均，h(x,y)=(x-y)^2/2(r=2)とおくと標本不偏分散に一致する．ウィルコクソンの符号付き順位検定は２つのu-統計量の線形和として表されることが知られている．

(2)情報量とエントロピー

　卑近な例ですが，「明日は雨が降るでしょう．」と「明日は槍が降るでしょう」を比べてみましょう．前者は何の変哲もない天気予報ですが，もし後者が，実際に起こったとしたら一大事です．

　前者のようにありふれた事象ほど情報量は小さく，後者のように滅多に起こらないものほど情報量は大きいと考えられます．

　そこで，情報量を生起確率の逆数の対数で定義することにします．

I(x)=log1/f(x)=-logf(x)

また，エントロピー（シャノンの情報量）は情報量の平均値

-∫(-∞,∞)f(x)logf(x)dx

として定義されます．

　量子論でもエントロピーｓと実現可能性の数を与える確率分布ｐを結びつけるボルツマンの公式

　　ｓ＝ｋBｌｏｇｐ ｋBボルツマン定数

がありますが，確率の自然対数で定義されるという類似性（アナロジー）に注目して下さい．

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