【３】超幾何関数の例

　ガウスは，１８１２年に超幾何級数

　　Ｆ（α，β，γ：ｘ）＝１＋αβ／γｘ＋1/2!α（α＋１）β（β＋１）／γ（γ＋１）ｘ^2＋1/3!α（α＋１）（α＋２）β（β＋１）（β＋２）／γ（γ＋１）（γ＋２）ｘ^3＋・・・

について非常に詳細な研究を行っていたことで知られています．

　この形の超幾何関数はガウスの超幾何関数と呼ばれ，

　　2Ｆ1(α，β；γ：ｘ）

で表されます．また，α，β，γを有理数としたとき，超幾何微分方程式はピカール・フックス型になります．

　オイラーの積分表示によって

　　2Ｆ1(α，β；γ：ｘ）＝Γ（γ）／Γ（α）Γ（γ−α）∫(0,1)t^(α-1)(1-t)^(γ-α-1)(1-xt)^(-β)dt

が成り立ちます．

　　(1-xt)^(-β)

を２項定理を用いて展開すると

　　(1-xt)^(-β)＝Σ(-β,n)(-xt)^n=Σ[β]/n!(xt)^n

が得られます．これとベータ関数

　　B(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt

を組み合わせることで，オイラーの積分表示が示されます．

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　たとえば，楕円積分に関係した超幾何関数値

　　2F1(1/2,1/2,2,1)=4/π

において，この余計な１／πはガンマ関数の相補公式

　　Γ（x）Γ（1-x）＝π／ｓｉｎπｘ

から派生してくるものとも考えられるわけですが，超幾何関数の代数的な変数での特殊値は，１／πを除いて周期となります．

　超幾何関数の代数的な変数での特殊値はふつう超越的ですが，ときどき予期されない代数的値をとることがあります．例をあげると，楕円積分と関わる保型関数

　　4√E4(z)=2F1(1/12,5/12;1;1728/j(z))

とのつながりから，ガウスの超幾何関数

　　2F1(1/12,5/12;1/2;1323/1331)=3/4･4√11

など，思いもかけないような式が得られています．

　これと似たようなふるまいをする簡単な例は，無限級数(n=0~)

　　Σ(n!)^2*3^n/(2n+1)!=4π/3√3

です．一般に，Ｆ（ｘ）＝Σａnｘ^nとおくと，ａ0=1で連続する２項の係数比

　　ａn+1／ａn

が定数となる関数を超幾何関数と呼ぶのですが，この級数の項比は

　　ａn+1ｘn+1/ａnｘn=3(n+1)^2/4(n+3/2)･x/(n+1)

ですから，

　　Σ(n!)^2*3^n/(2n+1)!=ａ0*2F1(1,1,3/2|3/4)

また，ａ0=1より

　　Σ(n!)^2*3^n/(2n+1)!=2F1(1,1,3/2|3/4)

より，級数Σ(n!)^2*3^n/(2n+1)!は超幾何級数2F1(1,1,3/2|3/4)であると同定されます．

　また，無限級数(n=1~)

　　Σ1/{n(2n,n)}=1/2*2F1(1,1,3/2|1/4)=π√3/9

　　Σ1/{(2n,n)}=1/2*2F1(1,2,3/2|1/4)={2π√3+9}/27

も同様で，2Ｆ1→3Ｆ2→4Ｆ3→・・・と進んで，現在，一般化された超幾何関数nＦn-1が代数的になる条件はボイカーズとヘックマンにより決定されています（１９８９年）．

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