円錐面はx^2+y^2=z^2で書けるが、これを平面ax+by+cz=dで切断したときの図形は、ｚを消去すると

ax^2+2hxy+by^2+2fx+gy+c=0

となり、これが楕円・放物線・双曲線となることはアポロニウスの発見である。

ax^2+2hxy+by^2+2fx+gy+c=0を合同変換

x'=ax+by+c

y'=dx+ey+f

で標準化することができる

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射影曲線

楕円・放物線・双曲線の３種類は射影幾何学の立場では1つのものが見かけ上3種類に分かれて見えるだけである。

直線を直線に移す円板の非ユークリッド幾何学的な射影変換が必要になるが，それは

　　ｘ’＝（ａｘ＋ｂｙ＋ｃ）／（ｕｘ＋ｖｙ＋ｗ）

　　ｙ’＝（ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ）／（ｕｘ＋ｖｙ＋ｗ）

という形の（実）変換である．分母が共通になる。

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３次曲線

複素数係数の射影変換で、次の３種類のいずれかに変換される。

[1]尖点を有するy^2=x^3

[2]結節点を有するy^2=x^2(x+1)

[3]非特異的３次曲線y^2=x(x-1)(x+λ)

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双有理変換

射影変換をさらに一般化した双有理変換がある。

　　ｘ’＝P(x,y)

　　ｙ’＝Q(x,y)

たとえば、

　　ｘ’＝x

　　ｙ’＝y+x^2

これらは逆に解けて有理変換となる

　　ｘ＝x'

　　ｙ＝y'-x'^2

逆にも解けて有理変換になる射影平面での双有理変換はとくに、クレモナ変換と呼ばれる。

放物線y=-x^2はこの双有理変換で直線y'=0になる

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４次曲線

平面４次曲線をクレモナ変換で分類すると 、次の４種類になる。ｇ：種数、κ：小平次元

[1]g=3,κ=2

[2]g=2,κ=1

[3]g=1,κ=0→クレモナ変換で非特異的３次曲線になる

[4]g=0,κ=−∞→クレモナ変換で直線になる

3次曲線はクレモナ変換でκ=0またはー∞（2種類）

5次以上の曲線はクレモナ変換でκ=2,1,0またはー∞（４種類）

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代数曲面

f(x,y,z)=0で、1次・2次の場合

[1]κ＝−∞のとき、有理曲面(q=0),非有理の線織面(q＞０)

[2]κ＝0のとき、K3曲面、エンリケス曲面(q=0),アーベル曲面(q=1),超楕円曲面(q=2)

[3]κ=1のとき，一般型の楕円曲面

[4]κ=2のとき，一般型の楕円曲面

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