１７６１年，ランベルトはπが無理数であることをはじめて示しました．ランベルトの方法は本質的に

　　π／４＝１／／１＋１／／３＋４／／５＋９／／７＋１６／９＋・・・

＝１／／１＋Φｋ^2／／（２ｋ＋１））＋・・・

と同じ連分数展開によるものでした．

　１８７３年，エルミートは

　　ｅ＝１＋１／１！＋１／２！＋・・・＋１／ｎ！＋・・・

が超越数であることを証明しました．これはリューヴィル数のような人為的に作った数ではない最初の超越数です．

　１８８２年，πは超越数であることがはじめて示されました．リンデマンは，エルミートの方法を一般化して，πの超越性を証明するのですが，リンデマンの定理（１８８２年）より，

　　ｅ，π，ｅ^（√２），ｅ＾α，ｌｏｇ２，ｌｏｇβ

　　　（α，βは代数的数で，α≠１，β≠１）

の超越性が導かれます．

　１９００年，ヒルベルトはパリの国際数学者会議において，２^（√２）が超越数であるかどうかを当時の数学の問題のひとつとしました（ヒルベルトの第７問題）．この問題は，「０または１でない代数的数αと有理数でない代数的数βに対し，α^βが超越数であることを示せ」というものですが，１９３４年，ゲルフォントとシュナイダーによって独立に，肯定的に解決されました．

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【１】ゲルフォント・シュナイダーの定理

　その結果，

　　２^（√２），ｅ^π，α^β，ｌｏｇ10２，ｌｏｇbａ

がいずれも超越数であることが判明しました．

　この定理を逆向きに使うことで，ｅ^πが超越数であることが示されます．

　　ｅ^πi＝−１

　　（ｅ^π）^i＝−１

　　α＝ｅ^π，β＝−ｉ

右辺−１は超越数でない．β＝−ｉはｘ^2＋１＝０の解なので代数的数である．したがって，α＝ｅ^πが代数的数でないことになる．

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　なお，

　　ｅ^π＝(-1)^(ｰi)

は，ゲルフォント・シュナイダーの定理によって超越数なのですが，

　　π^ｅ，π^π，ｅ^ｅ

は有理数かどうかもわかっていませんし，π＋ｅは無理数かどうかも知られていません．

　　ｅｘｐ（π√１６３）＝６４０３２０^3＋７４４

しかしながら，ゲルフォント・シュナイダーの定理より，ｅｘｐ（π√１６３）は超越数であって，整数にはならないことが証明されます．

　　ｅｘｐ（π√１６３）＝262537412640768743.99999999999925007･･･

である．整数との差はわずか１兆分の１未満である．もしこれが整数になったら一大事であるが，見事としかいいようがない．

　　ｅｘｐ（π√１６３）＝６４０３２０^3＋７４４−ε

　　ε＝７．５×１０^-13

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