これまでの記事を補足．

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【２】ガンマ関数の例

　Γ(1/2)＝√πは超越数ですが，ネステレンコの定理より，

　　Γ(1/3)，Γ(1/4)

も超越数であることが導かれます．変数ｓが有理数値のときのガンマ関数Γ（ｓ）の値は周期と密接に関係しています．そのため，周期を代数的数とπのベキを除いて，有理数変数におけるガンマ関数の有理数ベキの積として表すという試みがあります．

　ガンマ関数（オイラーの第２種積分）は，

　　Γ(x)=∫(0,∞)t^(x-1)exp(-t)dt

ベータ関数（オイラーの第１種積分）は，

　　B(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt

によって定義されます．ベータ関数において，a=m/n,b=1/2とおき，t=x^nと置換すると，

　　∫(0,1)x^(m-1)/(1-x^n)^(1/2)dx=Γ（m/n）√π／nΓ（m/n+1/2）

したがって，

　(m,n)=(1,1)のとき，∫(0,1)1/(1-x^1)^(1/2)dx=２

　(m,n)=(1,2)のとき，∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx=π／２

　(m,n)=(1,3)のとき，∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3（1/3）／２^(4/3)３^(1/2)π

　(m,n)=(1,4)のとき，∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)

が得られます．

　レムニスケート周率ωが，

　　ω＝Γ^2（1/4）／２^(3/2)π^(1/2)

と書けるいうわけです．

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【３】超幾何関数の例

　ガウスは，１８１２年に超幾何級数

　　Ｆ（α，β，γ：ｘ）＝１＋αβ／γｘ＋1/2!α（α＋１）β（β＋１）／γ（γ＋１）ｘ^2＋1/3!α（α＋１）（α＋２）β（β＋１）（β＋２）／γ（γ＋１）（γ＋２）ｘ^3＋・・・

について非常に詳細な研究を行っていたことで知られています．

　この形の超幾何関数はガウスの超幾何関数と呼ばれ，

　　2Ｆ1(α，β；γ：ｘ）

で表されます．また，α，β，γを有理数としたとき，超幾何微分方程式はピカール・フックス型になります．

　オイラーの積分表示によって

　　2Ｆ1(α，β；γ：ｘ）＝Γ（γ）／Γ（α）Γ（γ−α）∫(0,1)t^(α-1)(1-t)^(γ-α-1)(1-xt)^(-β)dt

が成り立ちます．

　　(1-xt)^(-β)

を２項定理を用いて展開すると

　　(1-xt)^(-β)＝Σ(-β,n)(-xt)^n=Σ[β]/n!(xt)^n

が得られます．これとベータ関数

　　B(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt

を組み合わせることで，オイラーの積分表示が示されます．

　たとえば，楕円積分に関係した超幾何関数値

　　2F1(1/2,1/2,2,1)=4/π

において，この余計な１／πはガンマ関数の相補公式

　　Γ（x）Γ（1-x）＝π／ｓｉｎπｘ

から派生してくるものとも考えられるわけですが，超幾何関数の代数的な変数での特殊値は，１／πを除いて周期となります．

　超幾何関数の代数的な変数での特殊値はふつう超越的ですが，ときどき予期されない代数的値をとることがあります．例をあげると，楕円積分と関わる保型関数

　　4√E4(z)=2F1(1/12,5/12;1;1728/j(z))

とのつながりから，ガウスの超幾何関数

　　2F1(1/12,5/12;1/2;1323/1331)=3/4･4√11

など，思いもかけないような式が得られています．

　これと似たようなふるまいをする簡単な例は，無限級数(n=0~)

　　Σ(n!)^2*3^n/(2n+1)!=4π/3√3

です．一般に，Ｆ（ｘ）＝Σａnｘ^nとおくと，ａ0=1で連続する２項の係数比

　　ａn+1／ａn

が定数となる関数を超幾何関数と呼ぶのですが，この級数の項比は

　　ａn+1ｘn+1/ａnｘn=3(n+1)^2/4(n+3/2)･x/(n+1)

ですから，

　　Σ(n!)^2*3^n/(2n+1)!=ａ0*2F1(1,1,3/2|3/4)

また，ａ0=1より

　　Σ(n!)^2*3^n/(2n+1)!=2F1(1,1,3/2|3/4)

より，級数Σ(n!)^2*3^n/(2n+1)!は超幾何級数2F1(1,1,3/2|3/4)であると同定されます．

　また，無限級数(n=1~)

　　Σ1/{n(2n,n)}=1/2*2F1(1,1,3/2|1/4)=π√3/9

　　Σ1/{(2n,n)}=1/2*2F1(1,2,3/2|1/4)={2π√3+9}/27

も同様で，2Ｆ1→3Ｆ2→4Ｆ3→・・・と進んで，現在，一般化された超幾何関数nＦn-1が代数的になる条件はボイカーズとヘックマンにより決定されています（１９８９年）．

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