【２】極値の極限分布

　最大値・最小値などの極値の分布は，有限のｎについては【１】で与えられましたが，これらの分布はｎとともにずれていきます．

　そこで，一様分布の最大値［１］において，

　　y(n)=(n+1){x(n)-n/(n+1)}

と変数変換すると，その分布関数はF(x(n))=x^nより

　　G(y(n))={(y+n)/(n+1)}^n={1+(y-1)/(n+1)}^n

ですから，ｎ→∞のとき，その極限分布は指数分布

　　G(y)=exp(-(1-y))

になることが理解されます．

　また，指数分布の最大値［２］では，

　　y(n)=x(n)-logn

とおくと，

　　G(y(n))={F(y+logn)}^n={1-exp(-y)/n}^n

ですから，ｎ→∞のとき，その極限分布は

　　G(y)=exp(-exp(-y))

すなわち２重指数分布の形に表されます．

　　E[y]=γ　　（γはオイラーの定数:0.57722･･･）

　　V[y]=π^2/6=ζ(2)

　このようにｎが大きいとき，漸近的にある位置=尺度モデルに収束するための条件

　　{G(x)}^n=G(a+bx)

の解を考えると，ｎ→∞としたときの極値極限分布は，ワイブル分布（指数分布を含む）か２重指数分布（ガンベル分布）の２つのうちどちらかに限られることが証明されています．ワイブル分布は指数分布にしたがう確率変数のベキ乗変換であり，一方，２重指数分布は指数分布にしたがう確率変数の対数変換として導かれる分布です．

　一般の分布について，その極限分布が上にあげた２つの型のいずれかになるというのは非常に有益な結果であり，しかも独立同分布の仮定が多少くずれたとしてもワイブル分布や２重指数分布があてはまることが多いとされています．

　また，分布の裾が軽い場合の最大値の極限分布としては２重指数分布が現れることも知られていて，たとえば，正規分布［３］

　　f(x)=1/(2π)^(1/2)exp(-x^2/2)

については，

　　y(n)=(2logn)^(1/2){x(n)-(2logn)^(1/2)}

の分布が２重指数分布に近づくことが示されます．

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