累積分布関数をF(x)，確率密度関数をf(x)とするある連続分布からのｎ個の観測値x1〜xnを大きさの順に並び換えたものを

　　x(1),･･･,x(n)

と書くことにします．x(1)は最小値，x(n)は最大値であり，x(k)をｋ番目の順序統計量といいます．

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【１】最大値，最小値の分布

　最大値x(n)の累積分布関数G(x)は

　　x(i)≦x (i=1〜n)

となること，すなわち，x1,･･･,xnのすべてがx以下になることと同値ですから，

　　P{x(1)<=x and x(2)<=x and x(n)<=x}

　　=P{x(1)<=x}P{x(2)<=x}･･･P{x(n)<=x}

　　=F(x)*F(x)*･･･*F(x)

より，

　　G(x)={F(x)}^n

したがって，最大値の確率密度関数g(x)はｘについて微分して

　　g(x)=n{F(x)}^(n-1)f(x)

　同様にして最小値x(1)の累積分布関数は

　　G(x)=1-{1-F(x)}^n

確率密度関数は

　　g(x)=n{1-F(x)}^(n-1)f(x)

となります．

　一般に，順序統計量x(k)の確率密度関数は，x(k)≦xとなることとx1,･･･,xnのうちk個以上がx以下になることと同値であり，

　　P{x(k)<=x}=ΣnCkF(x)^k{1-F(x)}^(n-k)

より

　　g(x)=n!/(k-1)!(n-k)!F(x)^(k-1){1-F(x)}^(n-k)f(x)

で与えられます．

　　n!/(k-1)!(n-k)!

は２項係数nＣk=n!/k!(n-k)!を用いてknＣk，ベータ関数を用いて1/Ｂ(k,n-k+1)と表せますから

　　g(x)=knＣkF(x)^(k-1){1-F(x)}^(n-k)f(x)

　　g(x)=1/Ｂ(k,n-k+1)F(x)^(k-1){1-F(x)}^(n-k)f(x)

などとも書くことができます．

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［１］ｘ1，・・・，ｘnが互いに独立に区間（０，１）の一様分布：F(x)=xに従っているとき，x(k)の確率密度関数は

　　g(x)=1/B(k,n-k+1)x^(k-1){1-x}^(n-k)

すなわちベータ分布：Beta(k,n-k+1)であることがわかります．

　したがって，

　　E[x(k)]=k/(n+1)

　　V[x(k)]=k(n-k+1)/(n+1)^2/(n+2)

となります．最大値の分布に関して

　　E[x(n)]=n/(n+1)

ですから，ｎが無限に大きくなるとx(n)は１に確率収束することを意味しています．これは直感的にも自明です．

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［２］次に，２変数の場合で考えて見ましょう．ｘ，ｙがパラメータλの指数分布

　　F(x)=１−exp(-λx)

にしたがい，互いに独立なとき，最小値の累積分布関数は

　　1-{exp(-λx)}^2 =1-exp(-2λx)

ですから，最小値の分布はパラメータ２λの指数分布になります．

　ｎ変数の場合の最小値の分布関数は

　　1-exp(-nλx)

すなわちパラメータｎλの指数分布になります（平均：１／ｎλ，分散：１／（ｎλ）^2）．しかし，最大値の分布は{1-exp(-λx)}^nですから指数分布にはなりません．

　具体的な分布型は煩雑になりますが，指数分布の順序統計量の平均・分散に関しては，それぞれ引数が整数のときのジガンマ関数・トリガンマ関数に帰着し，簡単な形になります．

　　E[x(k)]=1/λΣ1/(n-k+1)

　　V[x(k)]=1/λ^2Σ1/(n-k+1)^2

　したがって，ｎ→∞のとき，最大値x(n)の分布の平均は無限に大きくなりますが，ほぼ

　　1/λ・（ｌｏｇｎ＋γ）　　（γはオイラーの定数:0.57722･･･）

に等くなります．また，Σ1/k^2=π^2/6=ζ(2)ですから，分散は

　　1/λ^2・π^2/6

に収束します．

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［３］正規分布：

　標準正規分布

　　f(x)=1/(2π)^(1/2)exp(-x^2/2)

の場合，

ｎ＝２：E[x(2)]=-E[x(1)]=1/π^(1/2)

ｎ＝３：E[x(3)]=-E[x(1)]=3/2π^(1/2),E[x(2)}=0

ｎ＝４：E[x(4)]=-E[x(1)]=6arctan(2^(1/2))/π^(3/2)

　　　　E[x(3)}=-E[x(2)]=6/π^(1/2)-18arctan(2^(1/2))/π^(3/2)0

ｎ＝５：E[x(5)]=-E[x(1)]=15arctan(2^(1/2))/π^(3/2)-5/2π^(1/2)

　　　　E[x(4)}=-E[x(2)]=10/π^(1/2)-30arctan(2^(1/2))/π^(3/2)

　　　　E[x(3)]=0

　一般に

　　φ(x)=1/(2π)^(1/2)σexp(-(x-μ)^2/2σ^2)

の場合，最大値の分布は

　　G(x)={Φ((x-μ)/σ)}^n

　　g(x)=n{Φ((x-μ)/σ)}^(n-1)φ((x-μ)/σ)/σ

　　E[x(n)]=μ+e1σ　　　（e1はnについての増加関数）

　　V[x(n)]=e2σ^2 　　　（e2はnについての減少関数）

最小値の分布は

　　G(x)=1-{1-Φ((x-μ)/σ)}^n

　　g(x)=n{1-Φ((x-μ)/σ)}^(n-1)φ((x-μ)/σ)/σ

　　E[x(1)]=μ-e1σ　　　（e1はnについての増加関数）

　　V[x(1)]=e2σ^2 　　　（e2はnについての減少関数）

と表すことができます．

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［４］半円分布：f(x)=(1-x^2)^(1/2) (-1≦x≦1)の場合，

F(x)=1/2[x(1-x^2)+arcsinx]+π/4

ですから，最大値x(n)の累積分布関数G(x)は

　　G(x)={1/2[x(1-x^2)+arcsinx]+π/4}^n

となり，具体的な分布型は煩雑です．

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