【５】レヴィ分布

　酔歩モデルの調べるための統計量として，平均初通過時間の概念が導入されます．原点を出発した酔歩者が別の地点（±Ｘ）に到達するまでの時間と定義されますが，別の見方をすれば酔歩者が±Ｘの範囲の中にとどまっていられる平均時間ともいえます．

　確率密度関数

　　f(x)=1/√(2π)x^(-3/2)exp(-1/2x)

は一般的にはfirst passage time distribution of Brownian motionの名称で通っています．しかし，定まった訳語がないため，ここではレヴィ分布と呼ぶことにしました．レヴィ分布は自由度１のχ^2分布の逆数の分布として，あるいは半正規分布（自由度１のχ分布）においてxを1/√(x)とおいて得られます．また，この分布に関しては再生性が成り立ちます．

　その期待値E[x^a]はa>=1/2に対して無限大になりますから，コーシー分布と同様に平均値も分散ももちません．レヴィ分布の分散は発散しますが，４分位偏差ｓに関して

　　ｓ^(1/2)＝ｓ1^(1/2)＋ｓ2^(1/2)

が成り立ちます（stable distribution）．すなわち，同一の２つのレヴィ分布にしたがう変数の和の分布の４分位偏差は個々の変数の４分位偏差の２倍となることが示されています．

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　コーシー分布以外の確率分布では，レヴィ分布が平均値をもたない分布として知られています．

　話は少し脱線しますが，２つの正規変数の和の分布は別の正規分布に従います．これを正規分布は加法に関して不変（invariant）であるといいます．このとき，和変数の分散σ^2は個々の変数の分散σ1^2とσ2^2の和と等しくなります．すなわち，

　　σ^2=σ1^2＋σ2^2

です．

　正規分布では標準偏差σを４分位偏差ｓで置き換えても

　　ｓ^2=ｓ1^2＋ｓ2^2

は成立します．加算は２乗の世界（分散）で成立し，１乗の世界（標準偏差）では成立しません．このような加算が成り立つ分布は正規分布が唯一です．

　コーシー分布は標準偏差・分散をもたない分布をして知られていますが，quantile(fractile)の存在は保証されます．コーシー分布も加法に関して不変で，コーシー変数の和の分布は再びコーシー分布になります．そして，４分位偏差に関して

　　ｓ＝ｓ1＋ｓ2

すなわち，１乗の世界での加算が成り立ちます．

　同様にして，レヴィ分布については１／２乗の世界での加算

　　ｓ^(1/2)＝ｓ1^(1/2)＋ｓ2^(1/2)

が成り立ちます．以上まとめると

　　ｓ^k=ｓ1^k＋ｓ2^k

　k=2　：正規分布

　　k=1　：コーシー分布

　　k=1/2：レヴィ分布

となります．

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