【２】特性関数

　確率変数xが区間(-∞,∞)で定義されているとき，確率密度関数f(x)には次のような簡単な条件が要請されます．

　　f(x)≧0

　　∫(-∞,∞)f(x)dx=1

すなわち，確率密度関数は非負であって，積分すると１になる関数です．

　有限区間[a,b]で定義された連続密度関数g(x)に対しても，

　　h(x)=1 (a≦x≦b)

　　h(x)=0 (xb)

なる関数を導入して，f(x)=g(x)h(x)とすれば上式と同様に確率密度関数を定義できます．関数h(x)はヘビーサイド関数，ディラックのデルタ関数あるいはインパルス関数とも呼ばれます．

　ところで，積率母関数の欠点は，積率をもたないコーシー分布やブラウンノイズ関数などに対しては積率母関数が定義されないということです．そこで，複素関数を導入して

　　h(x)=exp(itx)

としたものが特性関数です．

　　φ(t)=E[exp(itx)]=∫(-∞,∞)f(x)exp(itx)dx

　フーリエ変換のカーネルはh(x)=exp(-itx)ですから，特性関数は１種のフーリエ変換（＋ｉフーリエ変換）と考えることができます．また，上式において，exp(itx)にオイラーの公式：exp(itx)=cos(tx)+isin(tx)を適用すると，特性関数は次のように表現できます．

　　φ(t)=∫(-∞,∞)f(x)cos(tx)dx+i∫(-∞,∞)f(x)sin(tx)dx

　区間（-1/2，1/2）の一様分布の特性関数はsin(t)/t，正規分布Ｎ（μ，σ^2）の特性関数はexp(iμt-σ^2t^2/2)となります．また，特性関数はすべての確率分布に対して存在し，コーシー分布の特性関数はexp(iμt-|t|σ)と表されます．

　また，畳み込みのフーリエ変換はフーリエ変換の単なる積になりますから，畳込みの特性関数はそれぞれの分布の特性関数の積

　　φx+y(t)=φx(t)*φy(t)

で表されます．前節より，独立な確率変数の和の分布は，合成積

　　fn(x)=f1(x)*･･･*f1(x)　　（n個の合成積）

で与えられることがわかりましたが，特性関数を用いる

　　φ(t)=[φn(t)]^n

となります．

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（例題）特性関数も和の分布を求めるときなど利用されていますが，ここでは，区間（０，１）の一様分布の特性関数が

　　φ(t)=exp(it/2)sin(t/2)/(t/2)

となることを利用して，区間（０，１）の一様乱数ｒiをｎ個合計したものの分布が，ｎ→∞の極限で正規分布になることを示してみましょう．

　一様乱数をｎ個の合計のしたものの分布の特性関数は

[φ(t)]^n=exp(int/2){sin(t/2)/(t/2)}^n

　一方，シンク関数

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝Σ(-1)^mx^2m/(2m+1)!＝１−１／３！ｘ^2 ＋１／５！ｘ^4 −・・・

の解が±π，±２π，±３π，±４π，・・・となることを利用して，無限積表示すると

　　sinx/x=(1-x^2/π^2)(1-x^2/4π^2)(1-x^2/9π^2)(1-x^2/16π^2)･･･=Π(1-x^2/k^2π^2)

　ｋが大きいとき

　　(1-x^2/k^2π^2)〜exp(-x^2/k^2π^2)

　　Π(1-x^2/k^2π^2)〜exp(-x^2/π^2Σ1/k^2)

ここで，Σ1/k^2=π^2/6より

　　Π(1-x^2/k^2π^2)〜exp(-x^2/6)

これより，

　　{sin(t/2)/(t/2)}^n→exp(-nt^2/24)

ですから，

　　[φ(t)]^n→exp(int/2-nt^2/24)

　正規分布Ｎ（μ，σ2）の特性関数はexp(iμt-σ^2t^2/2)ですから，この結果はｎ個の独立した一様乱数の和の分布は平均値ｎ／２，分散ｎ／１２の正規分布に近づくことを示しています（これは一様分布の場合について中心極限定理を示したものです）．

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[1]ポアソン分布

密度関数exp(-λ)λ^k/k!

特性関数exp(λ(exp(it)-1))

[2]正規分布

密度関数1/2πexp(-x^2/2)

特性関数exp(-t^2/2)

[3]三角分布

密度関数1-|x|

特性関数2(1-cost)/t^2

[4]指数分布

密度関数exp(-x)

特性関数1/(1-it)

[5]両側指数分布

密度関数1/2・exp(-|x|)

特性関数1/(1+t^2)

[6]ポリヤ分布

密度関数(1-cosx)/πx^2

特性関数(1-|t|)+

[7]コーシー分布

密度関数1/π(1+x^2)

特性関数exp(-|t|)

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