【１】確率変数の和の分布

　x,yが独立な確率変数でそれぞれ確率密度関数f(x),g(y)をもつとします．このとき，z=x+yの確率密度関数h(z)を求めてみましょう．

　やや形式的ではありますが，z=x+y,w=y(x=z-w,y=w）と変数変換して，

(x,y)平面から(z,w)平面の１対１写像を考えてみるとそのヤコビアンは

　　J=∂(x,y)/∂(z,w)=|∂x/∂z,∂x/∂w|=|1,-1|=1

　　 |∂y/∂z,∂y/∂w| |0, 1|

で与えられます．

　　dxdy=∂(x,y)/∂(z,w)dzdw

となり，(z,w)の同時確率密度関数p(z,w)は

　　p(z,w)dzdw=f(x)g(y)dxdy=f(z-w)g(w)∂(x,y)/∂(z,w)dzdw

したがって，

　　p(z,w)=f(z-w)g(w)

が求める同時確率密度関数となります．

　zの確率密度関数は，その周辺分布として与えられますから

　　h(z)=∫(-∞,∞)f(z-y)g(y)dy

となります．このhをfとgのたたみ込みまたは合成積（convolution）といい，

　　h(z)=f*g(z)

と書きます．まったく同様に

　　h(z)=∫(-∞,∞)g(z-x)f(x)dx

ですから，

　　h(z)=g*f(z)

すなわち，たたみ込みでは交換法則が成り立ちます．たたみ込みの積分計算は難しくなることがありますが，その場合には掛ける順序を入れ替えて計算すると簡単になります．

　また，h(z)の累積分布関数H(z)は

　　H(z)=∫(-∞,z)h(z)dz

　　=∫(-∞,∞)g(y)dy∫(-∞,z)f(z-x)dz

　　=∫(-∞,∞)g(y)dy∫(-∞,z-y)f(x)dx

　　=∫(-∞,z)F(z-x)dG(y)

と表されます．ここで，dG(y)=g(y)dyの関係を利用しました．この場合も，H(z)=F*G(z)=G*F(z)が成り立つことが容易にわかります．

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（例題４）パラメータ(α、λ)のガンマ分布の密度関数は

f(x)=λ^α/Γ(α)・x^(α-1)exp(-λx)

である。xがパラメータ(α、λ)のガンマ分布,yがパラメータ(α、λ)のガンマ分布に従い、独立であるならばx+yはパラメータ(α+β、λ)のガンマ分布に従う。

　まず，x+yの密度関数は

f(x)=f(x)=λ^α/Γ(α)・x^(α-1)exp(-λx)ですから

h(z)=f(x)*f(y)=∫(0,∞)f(x-y)f(y)dy

=∫(0,∞)λ^α/Γ(α)・(x-y)^(α-1)exp(-λ(x-y))λ^β/Γ(β)・y^(β-1)exp(-λy)dy

=λ^(α+β)exp(-λx)/Γ(α)Γ(β) ∫(0,∞)(x-y)^(α-1)y^(β-1)dy

ここで

∫(-∞,∞)(x-y)^(α-1)y^(β-1)dyがx^(α+β-1)Γ(α)Γ(β)/Γ(α+β)になることを示せばよい

x=duと変数変換するとそれを示すことができる

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