【１】確率変数の和の分布

　x,yが独立な確率変数でそれぞれ確率密度関数f(x),g(y)をもつとします．このとき，z=x+yの確率密度関数h(z)を求めてみましょう．

　やや形式的ではありますが，z=x+y,w=y(x=z-w,y=w）と変数変換して，

(x,y)平面から(z,w)平面の１対１写像を考えてみるとそのヤコビアンは

　　J=∂(x,y)/∂(z,w)=|∂x/∂z,∂x/∂w|=|1,-1|=1

　　 |∂y/∂z,∂y/∂w| |0, 1|

で与えられます．

　　dxdy=∂(x,y)/∂(z,w)dzdw

となり，(z,w)の同時確率密度関数p(z,w)は

　　p(z,w)dzdw=f(x)g(y)dxdy=f(z-w)g(w)∂(x,y)/∂(z,w)dzdw

したがって，

　　p(z,w)=f(z-w)g(w)

が求める同時確率密度関数となります．

　zの確率密度関数は，その周辺分布として与えられますから

　　h(z)=∫(-∞,∞)f(z-y)g(y)dy

となります．このhをfとgのたたみ込みまたは合成積（convolution）といい，

　　h(z)=f*g(z)

と書きます．まったく同様に

　　h(z)=∫(-∞,∞)g(z-x)f(x)dx

ですから，

　　h(z)=g*f(z)

すなわち，たたみ込みでは交換法則が成り立ちます．たたみ込みの積分計算は難しくなることがありますが，その場合には掛ける順序を入れ替えて計算すると簡単になります．

　また，h(z)の累積分布関数H(z)は

　　H(z)=∫(-∞,z)h(z)dz

　　=∫(-∞,∞)g(y)dy∫(-∞,z)f(z-x)dz

　　=∫(-∞,∞)g(y)dy∫(-∞,z-y)f(x)dx

　　=∫(-∞,z)F(z-x)dG(y)

と表されます．ここで，dG(y)=g(y)dyの関係を利用しました．この場合も，H(z)=F*G(z)=G*F(z)が成り立つことが容易にわかります．

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（例題１）x1,x2,･･･,xnが正規分布N(μ,σ2)にしたがうとき，ｙ＝Σｘの分布を求めたい．

　まず，y=x1+x2の密度関数は

f(x)=1/√2πσexp{-(x-μ)^2/2σ^2}ですから

h(y)=f(x1)*f(x2)=∫(-∞,∞)f(y-x)f(x)dx

=1/2πσ^2∫(-∞,∞)exp(-Q/2σ^2)dx

ここで

Q=(y-x-μ)^2+(x-μ)^2

=2x^2-2yx+(y-μ)^2+μ^2

=2(x-y/2)^2-1/2y^2+(y-μ)^2+μ^2

=2(x-y/2)^2+1/2(y-2μ)^2

h(y)=1/2πσ^2exp{-1/4σ^2(y-2μ)^2}∫(-∞,∞)exp(-(x-y/2)^2/σ^2)dx

h(y)=1/√(2π)√(2)σexp{-1/4σ^2(y-2μ)^2}

となります．これは正規分布Ｎ（2μ,2σ^2）に従うことがわかります．

　さらに「ｎ個の独立な確率変数の和z=x1+x2+･･･+xnの確率密度関数はｎ回畳み込みh(z)=f(x1)*f(x2)*･･･*f(xn)である．」から，実際に畳込みを繰り返すことによってｙ＝Σｘの分布は正規分布Ｎ（nμ,nσ^2）となることが理解されます．すなわち，正規分布の和の分布は再び正規分布となりますが，これを正規分布の再生性といいます．また，このことより，正規分布する母集団から得られた標本平均ｘ＝Σｘi／ｎの分布は正規分布Ｎ（μ，σ^2／ｎ）であることも理解されます．

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（例題２）さらに，x1,x2,･･･,xnが標準正規分布にしたがう独立な確率変数とすると，ｙ＝Σｘ^2＝ｓnの分布は？

　自由度１のχ^2分布の確率密度関数をもとに，sn=sn-1+xn2として畳込みTn*T1=Tn+1を繰り返すことで帰納的に求められ，

　　p(y)=2^(-n/2)/Γ(n/2)y^(n/2-1)exp(-y/2)

となります．これは自由度ｎのχ^2分布の確率密度関数です．

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（例題３）同様に，指数分布f(x)=λexp(-λ)のｎ回合成積はアーラン分布となることも帰納法で示すことができます．

f1(x)=λexp(-λ)

f2(x)=integral(0,x)f1(x-t)f1(t)dt=λ2xexp(-λx)

f3(x)=integral(0,x)f2(x-t)f1(t)dt=λ3x^2/2exp(-λx)

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f10(x)=integral(0,x)f9(x-t)f1(t)dt=λ10x^9/9!exp(-λx)

　なお，自由度２のχ^2分布は指数分布となり，さらにまたχ^2分布もアーラン分布もガンマ分布の１種です．

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