【１】シンク関数とゼータ関数

　シンク関数は

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝Σ(-1)^mｘ^2m/(2m+1)!

　　　　　　　　＝１−１／３！ｘ^2 ＋１／５！ｘ^4 −・・・

　　　　　　　　＝１−１／６ｘ^2＋１／１２０ｘ^4−・・・

とベキ級数表示することが可能です．

　このことに関連して，高校の微積分の時間に，ｘ→０としたとき，

　 sin(x)/(x)→１　すなわち　ｓｉｎ（ｘ）→ｘ

となることを教わったことを憶えておられる方も多いと思われますが，これがｘ＝０のとき，

　　sinc(0)=1

と定義する根拠になっています．

　さらに，シンク関数

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝０

の解が±π，±２π，±３π，±４π，・・・となることを利用して，無限積表示すると

　　sinx/x=(1-x^2/π^2)(1-x^2/4π^2)(1-x^2/9π^2)(1-x^2/16π^2)･･･

　　　　　=Π(1-x^2/k^2π^2)

　ここで，

　　sinx/x=1-1/6x2+120x4-･･･　　（ベキ級数表示）

と

　　sinx/x=Π(1-x^2/k^2π^2)　　（無限積表示）

　　　　　=1-1/π^2(Σ1/k^2)x^2+･･･

の両辺を比較することにより，

　　Σ1/k^2=π^2/6，Σ1/k^4=π^4/90，･･･

が計算されます．

　Σ1/k^2はリーマンのゼータ関数ζ(2)に，Σ1/k^4はゼータ関数ζ(4)に相当します．すなわち，

　　ζ(2)=π^2/6，ζ(4)=π^4/90，

以下，

　　ζ(6)=π^6/945，ζ(8)=π^8/9450，・・・

と続きます．そして，解析接続の後，

　　ζ(0)=-1/2，ζ(-1)=-1/12，ζ(-3)=1/120，ζ(-5)=-1/252，・・・

が得られます．

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　　sinπx/πx=Σ(-1)^nπ^2n/(2n+1)!・x^2n=1+Σ(-1)^nζ(2,2,・・・,2)x^2n

となる

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