ζ(2)=π^2/6、ζ(4)=π^4/90、ζ(6)=π^6/945、ζ(8)=π^8/9450

解析接続の後、

ζ(0)=-1/2、ζ(-1)=-1/12、ζ(-3)=1/120、ζ(-5)=-1/252

sinx=xΠ(1-x^2/π^2k^2)の両辺の係数を比較することで、ζ(2)=π^2/6、ζ(4)=π^4/90、・・・が求まる

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sinx=xΠ(1-x^2/π^2k^2)

sinhx=xΠ(1+x^2/π^2k^2)より

x^2Π(1-x^4/π^4k^4)=x^2Σ(-1)^k2^(2k+1)x^4/(4k+2)!

両辺の係数を比較することで、ζ(41,42,・・・,4k)=Σ1/(m1^4m2^4・・・mk^4)=2^(2k+1)π^4k/(4k+2)!

k=1とすればζ(4)=π^4/90が求まる

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2m個の(1,3,1,3,・・・,1,3)により

ζ(1,3,1,3,・・・,1,3)=2π^4m/(4m+2)!

ζ(2,2,・・・,2)/(2m+1)!=π^2m/(2m+1)!

1+ΣΣ(-4t^4)^mxbm/a1b1^3・・・ambm^3=F(t,-t:1:x)F(it,-it:1:x)

1+ζ(1,3,1,3,・・・,1,3)(-4t^4)^m=(sinπt)/πt・(sinhπt)/πt=Σ2π^4m/(4m+2)!・(-4t^4)^m

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ζ(4,4,・・・,4)=2^(2m+1)π^4m/(4m+2)!

ζ(4,4,・・・,4)/ζ(2,2,・・・,2)=2^(2m+1)π^2m(2m+1)!/(4m+2)!

m=1のとき,2^3π^2・3!/6!=π^2/15

ζ(2)=π^2/6、ζ(4)=π^4/90と合致

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