１／２｛Δ（ｚ＋１／２）＋Δ（ｚ）｝＝Στ（２ｎ）ｑ^2n

Δ（ｚ＋１／２）＝−Δ（ｚ）＋２Στ（２ｎ）ｑ^2n

Στ（２ｎ）ｑ^n＋２^11Στ（ｎ）ｑ^2n＝−２４Δ（ｚ）

Στ（２ｎ）ｑ^2n＋２^11Στ（ｎ）ｑ^4n＝−２４Δ（２ｚ）

Στ（２ｎ）ｑ^2n＝−２^11Δ（４ｚ）−２４Δ（２ｚ）

Δ（ｚ＋１／２）＝−Δ（ｚ）−４８Δ（２ｚ）−２^12Δ（４ｚ）

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ラマヌジャンの関数の特殊値として、レルヒの公式

Δ（i）=2^(-24)π^(-18)Γ(1/4)^24

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レルヒの公式

　　π＝2∫(0,1)1/√(1-x^2)dx=3.14159･･･（円周率）

　　ω＝2∫(0,1)1/√(1-x^4)dx=2.62205･･･（レムニスケート周率）

　　∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)

　　Δ(i)＝（ω／π√2）^12＝Γ^24(1/4)／２^24π^18

　　Ｅ4(i)＝３（ω／π）^4＝３Γ^8(1/4)／６４π^6

　　Ｅ6(i)＝0,

　　Δ(z)＝1/1728(E4(z)^3-E6(z)^2)

Δ（i）=1/1728・３^3Γ^24(1/4)／(６４)^3π^18＝Γ^24(1/4)／(６４)^4π^18＝2^(-24)π^(-18)Γ(1/4)^24

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ガウスの整数に関連したワイエルシュトラス積の1/2における値

σ(1/2)=1/2Σ(1-1/2(m+ni))exp(1/2(m+ni)+1/8(m+ni)^2)=2^5/4・π^1/2・exp(π/8)・Γ(1/4)^-2

はπとexp(π)とΓ(1/4)が代数的に独立であることを示す手段になりうると思われるが、レルヒの公式はπとΓ(1/4)が代数的に独立であることを示す手段になりうる？

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