ｙ^2＝４ｘ^3-６０ｇ4ｘ -１４０ｇ6は楕円曲線である。

そのｊ関数はｊ不変量を計算することで

　ｊ(z)＝1728・4(15g4)^3/{4(15g4)^3-27(35g6)^2}

この関数はフーリエ展開を持ち、そのq展開は

j(z)=q^-1+744+19684q+21493760q^2+・・・,q=exp(2πiz)

不思議なことに整数係数になるのである

なお、j(i)=1728,j(ω)=0のようにきわめて超越的な関数が、整数になってしまうのである。

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ヒーグナー・スタークの定理

j(√2i)=8000,j((-1+√7i)/2)=-3375

j((-1+163i)/2)=-(640320)^3

αd=√di (d=1,2 mod 4)

αd=(1+√di)/2 (d=3 mod 4)

j(αd)が整数となることはm+nαdの世界での素因数分解の一意性が成り立つことと同値である。

d={1,2,3,7,11,19,43,67,163}

j(√5i)=632000+282880√5

d=5のとき、6=2・3-(1+√5i)(1-√5i)という２通りの分解がある

j(i)=1728=12^3

j(i√2)=8000=20^3

j((-1+i√3)/2=0

j((-1+i√7)/2=-3375=-15^3

j((1+i√163)/2)=-640320^3

j((1+i√43)/2)=-960^3

j((1+i√67)/2)=-5280^3

11,19が残っているが・・・

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z=(-1+i√3)/2→q=exp(2πiz)=exp{(-i-√3)π}=exp(-√3)π)・exp(-iπ)=exp(-√3)π)・{cos(-π)+isin(-π)}=-exp(-√3)π)

z=(1+i√3)/2→q=exp(2πiz)=exp{(i-√3)π}=exp(-√3)π)・exp(iπ)=exp(-√3)π)・{cos(π)+isin(π)}=-exp(-√3)π)

z=(-1+i√7)/2,z=(1+i√7)/2も同様である

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z=(1+i√11)/2→q=exp(2πiz)=-exp(-√11π)

z=(1+i√19)/2→q=exp(2πiz)=-exp(-√19π)

j(z)=q^-1+744+19684q+21493760q^2+・・・,q=exp(2πiz)に代入すると,それぞれ

-32762.4→-32^3

-884726→-96^3

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