ガウスの素数とは，ノルムａ^2＋ｂ^2が１よりも大きいガウスの整数｛ａ＋ｂｉ｜ａ，ｂは整数｝のなかで，そのノルムよりも小さいノルムをもつガウスの整数の積として表されないものである．逆にいうと，ガウスの整数は必ずガウスの素数によって因数分解される．

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【１】ガウスの素数による因数分解

［１］最小の例は２＝（１＋ｉ）（１−ｉ）である．

　　｜１＋ｉ｜^2＝２，｜１−ｉ｜^2＝２，｜２｜^2＝４

［２］２個の平方数の和として表される通常の素数は２個のガウス素数の積である．

　３７＝（６＋ｉ）（６−ｉ）

　　｜６＋ｉ｜^2＝３７，｜１−ｉ｜^2＝３７，｜３７｜^2＝３７^2

［３］通常の素因数からガウスの素因数を見つけることができる．

　　｜３＋ｉ｜^2＝１０＝２・５

　　ノルムが２のガウス素数は（１＋ｉ），（１−ｉ）

　　ノルムが５のガウス素数は（２＋ｉ），（２−ｉ）→なせなら和が５になる平方数の組み合わせは４と１の組み合わせに限られる．

　　３＋ｉ＝（１＋ｉ）（２−ｉ）

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