ユークリッド原論第１０巻は今日の我々の眼からみると二重根号量（（ａ＋√ｂ）^1/2，（ａ−√ｂ）^1/2）の扱いであり，それが（特に（１０±２√５）^1/2が）第１３巻で正十二面体，正二十面体の構成にうまく活用されています．

　正１７角形では３重根号数と４重根号数が必要になります．ある歴史家の話では，これは古代ギリシャの数学者の手に負えなかった話題（？）だろうということです．正５角形が（定規とコンパスで）作図できる，そしてその作図に黄金比と関連した二重根号で表される量が本質的に関わっているという事実の発見が古代ギリシャ数学のひとつの頂上であったように思われます．

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阿賀岡芳夫先生出題の数学セミナー9月号の問題には、一見するとエッ本当?と思うような式が現れます。

（180-45√5）^1/2＋（86−38√5）^1/2＝（56＋19√5）^1/2

（104+48√5）^1/2＋（81+45√5）^1/2＝（389＋177√5）^1/2

（180+45√5）^1/2＋（86+38√5）^1/2＝（476＋185√5）^1/2

（-104+48√5）^1/2＋（-81+45√5）^1/2＝（19＋9√5）^1/2

（86-38√5）^1/2＋（56+19√5）^1/2＝（104＋7√5）^1/2

（56+19√5）^1/2＋（104+7√5）^1/2＝（234+90√5）^1/2

桐蔭学園高等学校の富永正治先生の生徒さんの解答を送っていただいたのですが、フィボナッチ数列に気がつき感動しました。

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もっと簡単な例として

（180-45√5）^1/2＋（86−38√5）^1/2＝（56＋19√5）^1/2

を取り上げる

（180-45√5）^1/2＋（86−38√5）^1/2=9.92398

（56＋19√5）^1/2=9.92397

x^2=（56＋19√5）

(x^2-56）^2=1805

x^4-112x^2+1331=0

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{x-（180-45√5）^1/2}^2=86−38√5

x^2-2（180-45√5）^1/2・x+180-45√5=86−38√5

x^2+94-7√5=-2（180-45√5）^1/2・x

(x^2+94)^2-14√5(x^2+94)+245=4（180-45√5）x^2

x^4+188x^2+8836+245-720x^2=2√5(7x^2+654)-2√5(90x^2)=-2√5(83x^2+654)

x^4-532x^2+9081=-2√5(83x^2+654)

(x^4-532x^2+9081)^2=20(83x^2+654)^2

これとてかなり面倒な計算となるようだ

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