√5＋(22+2√5)^1/2

を根とするモニックな２次方程式x^2+ax+b=0は

-a=√5

a=-√5

a^2-b=22+2√5

b=5-22-2√5=-17-2√5

となります。

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(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

を根とするモニックな２次方程式x^2+cx+d=0は

-c=(11+2√29)^1/2

c=-(11+2√29)^1/2

c^2-d=16-2√29+2(55-10√29)^1/2

d=11+2√29-2(55-10√29)^1/2

となります。

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y=x^2+ax+b=x^2+cx+dの交点は

x=(d-c)/(a-b)で与えられますが、y=0とはならず

これは

x^2+ax+b=0

x^2+cx+d=0の解ではありません。

ところが、一見異なる形をしている2つの数

√5＋(22+2√5)^1/2

(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2は同じ数なのです。

数値的に検証すると

√5＋(22+2√5)^1/2=7.38118

(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2=7.38118

(d-c)/(a-b)=1.26289

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y=x^2+ax+bの2根の大きいほう

y=x^2+cx+dの2根の大きいほう

が一致しているので

x^2+ax+b=x^2+cx+dの交点はそれより小さくなる

数値的な検証でなく、解析的に確かめる方法はないのだろうか？

２乗を繰り返してルートを消去。高次方程式が得られたら因数分解して共通因子を探すしかないと思われる。

x=√5＋(22+2√5)^1/2

x^2-2√5x+5=22+2√5

x^2-17=2√5(x+1)

x^4-34x^2+289=20(x^2+2x+1)

x^4-54x^2-40x+269=0

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x=(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

x^2-2(11+2√29)^1/2・x+11+22√29=16-2√29+2(55-10√29)^1/2

x^2-5+24√29=2(11+2√29)^1/2・x+2(55-10√29)^1/2

{(11+2√29)^1/2・x+√5(11-2√29)^1/2}^2=(11+2√29)x^2+5(11-2√29)+2√5√5・x=(11+2√29)x^2+10x+5(11-2√29)

=(11x^2+10x+55)+2√29(x^2-5√29)

(x^2-5)^2+48√29(x^2-5)+16704=4(11x^2+10x+55)+8√29(x^2-5√29)

(x^4-10x^2+25)+48√29(x^2-5)+16704=4(11x^2+10x+55)+8√29(x^2-5√29)

(x^4-54x^2-40x+16509)=8√29(x^2-5√29)-8√29(6x^2-30)=-8√29(5x^2-25)=-40√29(x^2-5)

(x^4-54x^2-40x+16509)^2=46400(x^4-10x^2+25)

(x^8+2916x^4+1600x^2+272547081-108x^6-80x^5-33018x^4+4320x^3+1782970x^2-1320720x)

=x^8-108x^6-80x^5-30102x^4+4320x^3+1784570x^2-1320720x+272547081

=46400(x^4-10x^2+25)

x^8-108x^6-80x^5-76502x^4+4320x^3+2248570x^2-1320720x+271387081=0

これがx^4-54x^2-40x+269を因子として持つはずである

方針はわかったが、計算に自信が持てないのでここで打ち切る

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