√5＋(22+2√5)^1/2

を根とするモニックな２次方程式x^2+ax+b=0は

-a=√5

a=-√5

a^2-b=22+2√5

b=5-22-2√5=-17-2√5

となります。

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(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

を根とするモニックな２次方程式x^2+cx+d=0は

-c=(11+2√29)^1/2

c=-(11+2√29)^1/2

c^2-d=16-2√29+2(55-10√29)^1/2

d=11+2√29-2(55-10√29)^1/2

となります。

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y=x^2+ax+b=x^2+cx+dの交点は

x=(d-c)/(a-b)で与えられますが、y=0とはならず

これは

x^2+ax+b=0

x^2+cx+d=0の解ではありません。

ところが、一見異なる形をしている2つの数

√5＋(22+2√5)^1/2

(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2は同じ数なのです。

数値的に検証すると

√5＋(22+2√5)^1/2=7.38118

(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2=7.38118

(d-c)/(a-b)=1.26289

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y=x^2+ax+bの2根の大きいほう

y=x^2+cx+dの2根の大きいほう

が一致しているので

x^2+ax+b=x^2+cx+dの交点はそれより小さくなる

数値的な検証でなく、解析的に確かめる方法はないのだろうか？

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