ねじれ立方体の二面角が古典的結晶学の規則にかなっていることを改めて確認しようとすると、うまくいきません。

以下の公式はミラーの面指数から二面角を導くものです。ミラー指数は、正負の整数です。

立方晶（等軸晶）系の二面角公式

(h,k,l)面と(m,n,p)面のなす角φは、

cosφ=(hm+kn+lp)/√((h^2+k^2+l^2)(m^2+k^2+l^2))

どの組み合わせであれば、ねじれ立方体の二面角と一致するのでしょうか？　

ねじれ立方体の二面角は、

１５３．２３度（３−３）

１４２．９８度（３−４）　　（山崎憲久）

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(h,k,l)と(m,n,p)の角度は式の通りになりますが、h,k,l,m,n,pを求めよという意味でしょうか？

ねじれ立方体では整数にはならないと思いますが、土日に計算してみます。 　　（佐藤郁郎）

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はい、その通りです。もし整数の組み合わせが存在しなければ、ねじれ立方体の結晶はあり得ないことになると思います。

「日本産鉱物の結晶形態」（高田雅介）に記録されている面指数の最大値は７ですから、せいぜい一桁の整数に限定して調べていただければと思います。　　（山崎憲久）

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整数にはなりませんでした　　（佐藤郁郎）

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ありがとうございます。

t が無理数なので、ミラー指数が整数になることはないという理解でいいですか？　　（山崎憲久）

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はい。その通りです　　（佐藤郁郎）

正確に言えば

(m,n,p)=(t^2,-1,2t+1)は整数比/有理比にならないということです。

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ありがとうございました。

アルキメデスのねじれ立方体とねじれ十二面体を、切稜と切頂で無理やりこじつけるのはやめることにします。

切稜と切頂は天然の結晶形態に対応するものを持ちますが、一松先生のいう「捩り切り」操作は人間の頭脳の産物として区別することにします。これは木工法では、ねじれ系だけは３次元定規が必須だということに対応しています。　　（山崎憲久）

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