【１】パーティー問題

　Ｋ5の正五角形を赤線で，星形五角形を青線で結ぶ．この図形には点をつなぐ線がすべて赤かすべて青の三角形は存在しない．

　しかし，Ｋ6のすべての２頂点間を２色の線で結ぶと，点をつなぐ線がすべて赤かすべて青の三角形ができる．

　従って，どのような６人の集団でも，３人の友人関係が存在するか，互いに見知らぬ３人が存在することになる（パーティー問題）．つまり，この問題はラムゼー理論と密接な関係にある．

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　色を３色に増やす．Ｋ16は同色の三角形が存在しないように配色することができるが，Ｋ17では同色の三角形がどこかにできるのである．

　　Ｎ（１）＝２，Ｎ（２）＝５，Ｎ（３）＝１６

　　Ｎ（ｑ）≦Σｑ！１／ｋ！

であるが，エルデシュは

　　Ｎ（ｑ）＝ｑ！Σ１／ｋ！

と予想している．

　これによると，Ｎ（４）＝６５であるが，Ｋ65に対する良い４配色は見いだされていない．つまり，Ｎ（４）＝６５であると証明されているわけではないことに注意．

　Ｎ（ｑ）はラムゼー理論と密接な関係にあるが，高次ラムゼー数の大多数はまだ知られていないのである．

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【２】ファン・デル・ヴェルデン数

　ファン・デル・ヴェルデン数は前述の問題に似ている．自然数ｋに対して，

　　１，２，３，・・・，ｎ（ｋ）

を２色でどう塗り分けても，等差数列をなす同色のｋ数ができるものと定義される．

　９は等差数列をなす同色の３数ができる最小の整数ｎである．

　３５は等差数列をなす同色の４数ができる最小の整数ｎである．

　１７５は等差数列をなす同色の４数ができる最小の整数ｎである．

　もっと一般に，任意のｋに対し，等差数列をなす同色のｋ数ができる最小の整数ｎ（ｋ）が存在することをファン・デル・ヴェルデンが証明した．

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