一般次元における単体的凸多面体ぼｆベクトルを決定するという問題は、マクマレンがｈベクトルを駆使して提唱し、マクマレンのｇ予想と呼ばれている。

正の整数fとiが与えられたとき、

f=(ni,i)+(ni-1,i-1)+・・・+(nj,j), ni＞ni-1＞・・・＞nj＞=1

なる表示が一意に存在する。このとき

f(i)=(ni+1,i+1)+(ni-1+1,i)+・・・+(nj+1,j+1), 0(i)=0

と定義する。

たとえば、14=(5,3)+(3,2)+(1,1),14(3)=(6,4)+(4,3)+(2,2)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】マクマレンのｇ定理

hベクトルが与えられたとき、次元ｄの単体的凸多面体が存在するための必要十分条件は

[1]h0=1

[2]hi=hd-i,i=0-d

[3]h0＜=h1＜=h2＜=・・・＜=h[d/2]

[4]hi+1-hi=(hi-hi-1)(i),i=1-[d/2]

が成立することである。

[4]gi=(gi-1)(i),i=1-[d/2]

この予想は肯定的に証明されている。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】マコーレーの定理

マコーレーはM列を完全に決定することに成功した。

(h0,h1,・・・,hs)がM列となるための必要十分条件は

[1]h0=1

[2]h＜=hi(i),i=0-(s-1)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝