■n!+1は素数であるか? (その17)
ウィルソンの定理
pを素数とするとき、
(p-1)!=-1 (modp)
例: p=5に対して24=-1 (mod5)
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p=7,a=3とします。
1,2,3,4,5,6
に3をかけて、mod7を計算すると
3,6,9,12,15,18=3,6,2,1,4 (mod7)
すなわち、1,2,3,4,5,6の並び替えになっている。
このことは3・5=1すなわち。7を法として3と5が逆数の関係にあることを意味している。
7を法として、1と1、2と4、3と5、6と6が逆数の関係にある。
6!=1・6・(2・4)・(3/5)
=1・(-1)・1・1=-1 (mod7)
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2・3・4・・・(p-3)・(p-2)
の各因数は他の因数のどこかにそれ自身の逆数をもっている。
たとえば、p=7については、7を法として、1と1、2と4、3と5、6と6が逆数の関係にある。
一般に(p-3)/2対のすべての積はpを法として1に合同であるから、
2・3・4・・・(p-3)・(p-2)=1 (modp)
(p-1)!=p-1=-1 (modp)
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