ｐを素数とする．このとき，

　　ｐ！＝０　　（ｍｏｄ　ｐ）

は自明であるが，

　　（ｐ−１）！＝？　　（ｍｏｄ　ｐ）

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【１】ウィルソンの定理

　ｐを素数とするとき，

　　（ｐ−１）！＝ｐ−１＝−１　　（ｍｏｄ　ｐ）

　たとえば，ｐ＝３１のとき

　　３０！＝−１　　（ｍｏｄ　３１）

いいかえれば３０＋１は３１で割り切れる．

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【２】平方剰余と非剰余

　素数ｐを法とする剰余表を作るとき，１からｐ−１までの数を平方する必要はない．ｋ^2＝（ｐ−ｋ）^2　　（ｍｏｄ　ｐ）であるから，１から（ｐ−１）／２までの数を平方すれば十分である．

　たとえば，ｐ＝３１を法とする剰余は１から１５までの整数を平方して３１で割った余りは

　　１，４，９，１６，２５，５，１８，２，１９，７，２８，２０，１４，１０，８

となる．ｐ＝３１を法とする平方剰余は１５個　→　一般に（ｐ−１）／２個

　非剰余

　　３，６，１１，１２，１３，１５，１７，２１，２２，２３，２４，２６，２７，２９，３０

も１５個ある．　→　一般に（ｐ−１）／２個

剰余×剰余＝剰余

剰余×非剰余＝非剰余

非剰余×剰余＝非剰余

非剰余×非剰余＝剰余　→２３・１２＝２８　　（ｍｏｄ　３１）

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　ｐ＝４ｍ＋１のとき，

　　（ｐ−１）！＝｛（ｐ−１）／２｝！^2＝−１　　（ｍｏｄ　ｐ）

　たとえば，ｐ＝２９のとき

　　２８！＝（１４！）^2＝−１　　（ｍｏｄ　２９）

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