正二十面体をイメージして下さい．正二十面体（頂点が１２個，正三角形の面が２０個ある）の各頂点からのびている５本の辺をそれぞれ１／３の長さの所で切り取り，五角錐をはずします．するとそこに１２枚の正五角形が現れ，２０枚の正三角形が２０枚の正六角形になるわけです．

　サッカーボールは正二十面体の切頂形であって，正五角形が１２枚，正六角形が２０枚の合計３２枚の面で構成されています．１２個の正五角形はすべて離れています．

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【１】オイラーの多面体公式

　サッカーボールでは，頂点の数ｖ＝６０，辺の数ｅ＝９０ですから，面の数ｆ＝３２となってオイラーの多面体公式

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

が成り立っています．しかし，実際に頂点の数ｖや辺の数ｅを数えたら途中で間違うこと必定です．

　そこで，正五角形がｘ面，正六角形がｙ面あるとします．サッカーボールではどの頂点からも３本の辺が出ているので，５ｘ＋６ｙ個の頂点は同じ頂点が重複して３回数えられていることがわかります．したがって，頂点数ｖは

　　３ｖ＝５ｘ＋６ｙ

　同様に，５ｘ＋６ｙ個の辺は同じ辺が重複して２回数えられているので，

　　２ｅ＝５ｘ＋６ｙ

　オイラーの公式に代入すると

　　（５ｘ＋６ｙ）／３−（５ｘ＋６ｙ）／２＋ｘ＋ｙ＝２

より，ｘ＝１２

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　ここで，

（Ｑ）五角形と六角形からなる多面体には五角形が常に１２個ある

ことを証明してみます．

（Ａ）オイラーの多面体定理で示される制限からいえることとして，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２，２ｅ≧３ｆ，２ｅ≧３ｖ

を組み合わせると，

　　２ｖ＋２ｆ＝２ｅ＋４≧３ｆ＋４　→　ｆ≦２ｖ−４

　　２ｖ＋２ｆ＝２ｅ＋４≧３ｖ＋４　→　ｖ≦２ｆ−４

また，別の組合せ方をすると，

　　３ｖ＋３ｆ＝３ｅ＋６≦２ｅ＋３ｆ　→　３ｆ−ｅ≧６

　　３ｖ＋３ｆ＝３ｅ＋６≧２ｅ＋３ｖ　→　３ｖ−ｅ≧６

　ｎ本の辺をもつｆn枚の面とｎ本の辺が交わるｖn個の頂点をもつ凸多面体について，

　　Ｆ＝ｆ3＋ｆ4＋ｆ5＋・・・

　　２Ｅ＝３ｆ3＋４ｆ4＋５ｆ5＋・・・

　　６Ｆ−２Ｅ≧１２

に代入すると

　　３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・≧１２

　地図のように２つの辺に囲まれた領域まで許すことにすると，この数え上げ公式は

　　４ｆ2＋３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・＝１２

となり，係数が１ずつ小さくなり，それが０となるｆ6は式中に現れない．

　ここで，

(1)ｆ2＝ｆ3＝ｆ4＝０だとすると，少なくとも１２個のｆ5がなければならないことになる

(2)多面体の面がすべてｆ5とｆ6であるならば，ｆ5＝１２（切頂二十面体）

(3)多面体の面がすべてｆ4とｆ6であるならば，ｆ4＝６（切頂八面体）

(4)多面体の面がすべてｆ4，ｆ6，ｆ8であるならば，ｆ4＝ｆ8＋６（斜方切頂立方八面体）

(5)多面体の面がすべてｆ5，ｆ6，ｆ7であるならば，ｆ5＝ｆ7＋12（放散虫）

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