【３】平行多面体による周期的空間充填

　平行多面体による３次元空間の充填を考えると，１種類による周期的充填図形すなわち平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体として，立方体，正六角柱，菱形十二面体，長菱形十二面体，切頂八面体があります．以上の５種類を併せてフェドロフ（ロシアの結晶学者）の平行多面体といいます．６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものと一致しています．

　平行多面体による空間充填は結晶構造と深く関係していて，３次元格子には１８４８年にブラーベが発見した１４種類あり，そして，これから決まる本質的なディリクレ領域（ボロノイ領域）は，ロシアの結晶学者フェドロフの見つけた５種類の平行多面体−−立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体（正６角形４枚と菱形８枚の２種類で作る１２面体），切頂８面体−−しかないというわけです．

　これら５種類の図形は５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないのですが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられる所以です．なお，２次元格子は５種類あり，それから決まるディリクレ領域も５種類あります．

［補］平行多面体のうち正多面体と同じ対称性をもつ立体は，プラトン立体では立方体，アルキメデス立体では切頂８面体，大菱形立方８面体，大菱形１２・２０面体，アルキメデス双対では菱形１２面体，菱形３０面体があります．また，これらの平行多面体から得られるねじれ立体には，正方形からは正４面体，切頂８面体からは正２０面体，大菱形立方８面体からはねじれ立方体，大菱形１２・２０面体からはねじれ１２面体があります．

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