【２】空間充填

　平面上の敷き詰めに引き続いて，３次元空間の敷き詰め＜結晶＞についてみていきましょう．結晶学の常識では，原子が周期的に配列した結晶物質では２重，３重，４重，６重の対称性しか許されないというのが鉄則・大前提になっていました．

　なぜ５重，７重，８重などの対称が結晶に存在し得ないかは，同じ形の多角形のタイルで床を敷き詰める場合を考えると分かります．それは５角形や７角形またはそれ以上の辺数の多角形ではあり得ないし，正五角形は平面を埋めつくすことができないことから容易に理解されるところです．

　３次元では５回対称軸をもつ正五角形の役割を正１２面体や正２０面体が果たしますが，正五角形が平面充填形でないのと同様に正１２面体・正２０面体は空間充填形ではありません．

　ところが，１９８４年に５重の対称性を示す物質（アルミニウムとマンガンの人工合金）がアメリカのシェヒトマンによって発見され，結晶学の根底は揺るがされ，この大前提は覆されました．それまで知られていた結晶格子はすべて正四面体，立方体，正八面体から導かれていたのですから，それはあたかも誰かが５角形の雪の結晶を発見したような事件であったのです．

　この物質はペンローズのタイル貼りと密接に関係していて，ペンローズが始めた５重の対称性をもつ敷きつめを３次元空間に一般化したものであり，ある規則性をもちながら周期配列をしないことから，準周期的結晶，あるいは簡単に準結晶と呼ばれます．最近まで，結晶とアモルファスの両方の物質の状態を共有しそのどちらでもない新しい状態があると思っている人はごく少なかったのですが，この準結晶は両方の性質をもっています．

　ペンローズタイルと同様にして，２種類の菱面体（太った菱面体とやせた菱面体）でともに合同な面をもつものを用いて，３次元を隙間なく埋める非周期的構造を作ることができます．これら２種類の菱面体は各面の菱形の対角線の長さの比が黄金比１：１．６１８［＝（√５＋１）／２］の黄金六面体です．黄金菱面体には２種類あり，細めで尖ったほうがacute（Ａ6），太めで平たいほうがobtuse（Ｏ6）と呼ばれています．

　なお，１９９３年に，１種類の凸多面体の非周期的な仕方だけで空間全体を完全に埋めつくすことができる立体「二重プリズム」が英国の数学者コンウェイによって発見されました．その面は４個の合同な三角形と４個の合同な平行四辺形からなっていて，２個の傾斜した三角プリズムを接合したものとみなせます．「二重プリズム」のように平面全体を一種類だけで非周期的に埋めつくすことのできる図形はまだ知られていません．

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