【１】１種類の菱形からなる菱形多面体

　合同な菱形だけでできている多面体を菱形多面体と呼びます（以下ではこの菱形六面体Ａ6，Ｏ6を除いて考えることにします）．ケプラーは複合多面体から対角線の比が白銀比になっている菱形十二面体と対角線の比が黄金比になっている菱形三十面体を発見しました．

　ケプラーは，すべての面が合同な菱形である菱形多面体はこれら以外にはないことを証明しようとしたのですが，実はあと２つ，１８８５年，フェドロフが発見した菱形二十面体と１９６０年にビリンスキーが発見した菱形十二面体第２種があります．これらはコクセターにより，Ａ6（acute），Ｏ6（obtuse），Ｂ12（Bilinsky），Ｆ20（Fedrov），Ｋ30（Kepler）と名づけられていて，それぞれ３次元から６次元までの立方体の投影の外殻になっています．

　１種類の立体による空間充填形がもっと高い次元の立方格子の射影であるというのは本質的に正しく，立方体以外の単一多面体による空間充填体としては，菱形十二面体や切頂八面体がよく知られています．たとえば，切頂八面体には６組の平行な辺があり，６次元立方体の射影と考えることができます．同様に，菱形十二面体は４次元立方体を３次元空間に投影したもの，２次元充填図形である正６角形は３次元立方体を２次元平面に投影したもの，４次元空間充填３０胞体は１０次元立方体を４次元空間に投影したものとなっているわけです．

　菱形のすべての稜は２方向，菱形六面体のすべての稜は３方向，菱形十二面体では４方向，菱形三十面体では６方向を向いているのですが，菱形二十面体では５方向，菱形十二面体（第２種）では４方向を向いています．これらはｎ次元立方体を３次元空間に投影したものと考えることができます．菱形３０面体は６次元空間における立方体の３次元版，菱形１２面体は４次元空間における立方体の３次元版に相当するというわけです．

　一般にすべての稜がｎ方向を向くとき，面数はｆ＝ｎ（ｎ−１）となります．

　　ｆ＝ｎ（ｎ−１）＝２，６，１２，２０，３０，４２，５６，・・・

　　ｅ＝２ｎ（ｎ−１）

　　ｖ＝ｎ（ｎ−１）＋２

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【２】２種類以上の菱形からなる菱形多面体

　菱形９０面体は合同な菱形だけでできている菱形多面体ではありませんが，対角線の長さの比が１：τ^2（２．６１８）の菱形３０枚と白銀菱形６０枚から構成される美しい形の多面体です．菱形９０面体は１０次元空間における立方体の３次元版に相当します．

　また，菱形１３２面体は３種類の菱形からなり，１２次元空間の立方体を３次元空間に射影したものに相当する多面体です．

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