１種類の立体による空間充填形がもっと高い次元の立方格子の射影であるというのは本質的に正しい．立方体以外の単一多面体による空間充填体としては，菱形十二面体や切頂八面体がよく知られている．たとえば，切頂八面体には６組の平行な辺があり，６次元立方体の射影と考えることができる．

　同様に，菱形十二面体は４次元立方体を３次元空間に投影したもの，２次元充填図形である正６角形は３次元立方体を２次元平面に投影したもの，４次元空間充填３０胞体は１０次元立方体を４次元空間に投影したものとなっている．

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【１】菱形多面体の場合

　次に，菱形だけでできている菱形多面体の場合を考えます．菱形のすべての稜は２方向，菱形六面体のすべての稜は３方向，菱形十二面体では４方向，菱形三十面体では６方向を向いているのですが，菱形二十面体では５方向，菱形十二面体（第２種）では４方向を向いています．一般にすべての稜がｎ方向を向くとき，面数はｆ＝ｎ（ｎ−１）となります．

　　ｆ＝ｎ（ｎ−１）＝２，６，１２，２０，３０，４２，５６，・・・

　　ｅ＝２ｎ（ｎ−１）

　　ｖ＝ｎ（ｎ−１）＋２

　これらはｎ次元立方体を３次元空間に投影したものと考えることができます．菱形３０面体は６次元空間における立方体の３次元版，菱形１２面体は４次元空間における立方体の３次元版，菱形９０面体は合同な菱形だけでできている菱形多面体ではないが，１０次元空間における立方体の３次元版に相当するというわけです．

　宮崎興二先生のお話によりますと，菱形９０面体は対角線の長さの比が１：τ^2（２．６１８）の菱形３０枚と白銀菱形６０枚から構成される美しい形の多面体だそうです．

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【２】黄金菱形多面体による非周期的空間充填

　要素を配置するときの規則によって周期的配置（結晶），乱雑配置，準結晶的配置の３種類に分類されるます．準結晶とは厳密な規則によって配列が一意に決定されるのですが，周期的ではない配置のことを指します．３次元空間の非周期的充填では５種類の黄金平行多面体によるものが知られています．

　ケプラーは，すべての面が合同な菱形である菱形多面体は，対角線の比が白銀比になっている菱形を１２個組み合わせてできる菱形十二面体と対角線の比が黄金比になっている菱形を３０個組み合わせてできる菱形三十面体以外にはないことを証明しようとしたのですが，実はあと２つ，１８８５年，フェドロフが発見した菱形二十面体と１９６０年にビリンスキーが発見した菱形十二面体第２種があります．

　黄金菱形平行６面体には２種類（太った菱面体とやせた菱面体）あって，細めで尖ったほうがacute（扁長菱面体），太めで平たいほうがobtuse（扁平菱面体）と呼ばれていますが，２つずつacute とobtuse が集まれば菱形十二面体（第２種），５つずつ集まれば菱形二十面体，１０個ずつ集まれば菱形三十面体となります．このうち，菱形二十面体と菱形三十面体は５重の対称軸をもっています．

　これらはコクセターにより，Ａ6（acute），Ｏ6（obtuse），Ｂ12（Bilinsky），Ｆ20（Fedrov），Ｋ30（Kepler）と名づけられていて，それぞれ３次元から６次元までの立方体の投影の外殻になっています．すなわち，黄金平行多面体は５種類あり，黄金菱形をある方向に平行移動させたものがＡ6，Ｏ6であり，それをさらに平行移動させるとＢ12が，続いてＦ20が，最後にＫ30が生まれます．

　したがって，Ａ6とＯ6は３次元の，Ｂ12は４次元の，Ｆ20は５次元の，Ｋ30は６次元の立方体とそれぞれ同等になります．また，Ｂ12の中には２つずつのＡ6とＯ6が，Ｆ20の中にはひとつのＢ12と３つずつのＡ6とＯ6が（いいかえればＦ20の中には５つずつのＡ6とＯ6が），Ｋ30の中にはひとつのＦ20と５つずつのＡ6とＯ6が（いいかえればＫ30の中には１０個ずつのＡ6とＯ6が）それぞれ入っていることになります．

　２種類の黄金平行多面体を用いて，３次元を隙間なく埋める非周期的構造を作ることができることは前述したとおりですが，この黄金平行多面体による充填図形の平面への投影はペンローズ・パターンと呼ばれる準周期性平面充填となります．すなわち，ペンローズのタイル貼りは，三次元空間を２種類の黄金菱面体で非周期的に埋めつくしたときの平面への投影図であり，５回対称性という物質の新しい状態を２次元的に模似したものになっています．

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