菱形のすべての稜は２方向，菱形六面体のすべての稜は３方向，菱形十二面体では４方向，菱形三十面体では６方向を向いているのですが，菱形二十面体では５方向，菱形十二面体（第２種）では４方向を向いています．一般にすべての稜がｎ方向を向くとき，面数はｆ＝ｎ（ｎ−１）となります．

　平行多角形のみで構成される多面体をゾーン多面体といいます．ゾーン多面体は無数にあるのですが，そのうち，ゾーン面は２枚ずつ増やせるので２（ｎ−１）面，天井面と床面はそれぞれ（ｎ−１）（ｎ−２）／２面で

　　２（ｎ−１）＋２（ｎ−１）（ｎ−２）／２＝ｎ（ｎ−１）

という構成になっています．

　　ｆ＝ｎ（ｎ−１）＝２，６，１２，２０，３０，４２，５６，・・・

　　ｅ＝２ｎ（ｎ−１）

　　ｖ＝ｎ（ｎ−１）＋２

　合同な菱形だけでできている菱形多面体では，最大１頂点に５つの角が集まることが可能でしたが，２種類以上の菱形でできている菱形多面体では，頂点に６つ以上の角が集まることも可能になります．菱形１３２面体（トランス型・シス型）は３種類の菱形（細い菱形４８枚，中間型３６枚，太った菱形４８枚）からなりますが，これら３種類の菱形は黄金・白銀菱形，黄金・白銀２乗菱形のどれに相当するのでしょうか．

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【１】ｎ次元立方体の投影

　０次元の点がまっすぐ動くと１次元の線分になる．１次元の線分が平面の上で自分と直角の方向に同じ長さだけ動くと，２次元の正方形になる．２次元の正方形が３次元空間の中で自分と直角方向に１辺の長さだけ動くと，３次元の立方体となる．この３次元立方体が４次元空間の中で自分と直角方向に１辺の長さだけ動くと，同じ大きさの８個の立方体からなる４次元の立方体（正８胞体）になる・・・．

　こうしてｎ次元立方体ができあがりますが，高次元空間の立方体（±１，±１，±１，・・・，±１）を２次元平面や３次元空間へ射影するとその投影図の稜線はかなり混み入ったものになります，そこで，必要な稜線だけを抽出すると菱形多面体が得られます．

　たとえば，菱形１２面体は４次元空間の立方体を３次元空間に射影して必要な稜線だけを抽出したものです．抽出の仕方を変えると正六角柱も得られます．同様に，菱形３０面体は６次元空間の立方体を３次元空間に射影したもの，菱形９０面体は１０次元空間の立方体を３次元空間に射影したもの，菱形１３２面体は１２次元空間の立方体を３次元空間に射影したものに相当する多面体です．

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