菱形十二面体，菱形三十面体は球に外接する（内接球をもつ）のですが，球には外接しないものの合同な菱形だけでできている多面体には，２種類の菱形六面体を除いて実はあと２つ，１８８５年にフェドロフが発見した菱形二十面体と１９６０年にビリンスキーが発見した菱形十二面体（第２種）があります．

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【２】菱形多面体

　合同な菱形だけでできている多面体について考えます．どのような菱形でも平行６面体を作ることができるのですが，この菱面体には２種類（太った菱面体とやせた菱面体）あって，細めで尖ったほうがacute（扁長菱面体），太めで平たいほうがobtuse（扁平菱面体）と呼ばれています．

　ケプラーは複合多面体から菱形十二面体，菱形三十面体を発見し，すべての面が合同な菱形である菱形多面体は，菱形十二面体と対角線の比が黄金比になっている菱形を３０個組み合わせてできる菱形三十面体以外にはないことを証明しようとしたのですが，実はあと２つ，１８８５年，フェドロフが発見した菱形二十面体と１９６０年にビリンスキーが発見した菱形十二面体（第２種）があります．

　菱形三十面体からあるゾーン（菱形の連なった帯）を抜き取って押しつぶすと菱形二十面体，菱形二十面体からあるゾーンを抜くと菱形十二面体（第２種）になるので，これらは各面の対角線の長さの比が黄金比の菱形からなる一連のゾーン多面体と考えることができます．

　すなわち，黄金平行多面体は５種類あり，これらはコクセターによりＡ6（acute），Ｏ6（obtuse），Ｂ12（Bilinsky），Ｆ20（Fedrov），Ｋ30（Kepler）と名づけられています．黄金菱形をある方向に平行移動させたものがＡ6，Ｏ6であり，それをさらに平行移動させるとＢ12が，続いてＦ20が，最後にＫ30が生まれます．したがって，Ａ6とＯ6は３次元の，Ｂ12は４次元の，Ｆ20は５次元の，Ｋ30は６次元の立方体とそれぞれ同等になります．

　また，Ｂ12の中には２つずつのＡ6とＯ6が，Ｆ20の中にはひとつのＢ12と３つずつのＡ6とＯ6が（いいかえればＦ20の中には５つずつのＡ6とＯ6が），Ｋ30の中にはひとつのＦ20と５つずつのＡ6とＯ6が（いいかえればＫ30の中には１０個ずつのＡ6とＯ6が）それぞれ入っていることになります．

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【３】ゾーン多面体の構成

　菱形三十面体からあるゾーンを抜くと，菱形二十面体や菱形十二面体（第２種）になるので，これらは各面の対角線の長さの比が黄金比の菱形からなる一連のゾーン多面体と考えることができます．菱形のすべての稜は２方向，菱形六面体のすべての稜は３方向，菱形十二面体では４方向，菱形三十面体では６方向を向いているのですが，菱形二十面体では５方向，菱形十二面体（第２種）では４方向を向くことになります．

　一般にすべての稜がｎ方向を向くとき，面数はｆ＝ｎ（ｎ−１）となります．そのうち，ゾーン面は２枚ずつ増やせるので２（ｎ−１）面，天井面と床面はそれぞれ（ｎ−１）（ｎ−２）／２面で

　　２（ｎ−１）＋２（ｎ−１）（ｎ−２）／２＝ｎ（ｎ−１）

という構成になっています．

　　ｆ＝ｎ（ｎ−１）＝２，６，１２，２０，３０，４２，５６，・・・

　　ｅ＝２ｎ（ｎ−１）

　　ｖ＝ｎ（ｎ−１）＋２

　　ｎ　　　ゾーン　　　天井床　　　　ｆ　　　　ｅ　　　　ｖ

　　３　　　　　４　　　　　２　　　　６　　　１２　　　　８

　　４　　　　　６　　　　　６　　　１２　　　２４　　　１４

　　５　　　　　８　　　　１２　　　２０　　　４０　　　２２

　　６　　　　１０　　　　２０　　　３０　　　６０　　　３２

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