【１】菱形多面体とゾーン多面体

　合同な菱形だけでできている多面体について考えます．どのような菱形でも平行６面体を作ることができるのですが，この菱面体には２種類（太った菱面体とやせた菱面体）あって，細めで尖ったほうがacute（扁長菱面体），太めで平たいほうがobtuse（扁平菱面体）と呼ばれています．

　ケプラーは複合多面体から菱形十二面体，菱形三十面体を発見し，すべての面が合同な菱形である菱形多面体は，菱形十二面体と対角線の比が黄金比になっている菱形を３０個組み合わせてできる菱形三十面体以外にはないことを証明しようとしました．

　菱形十二面体，菱形三十面体は球に内接する（外接球をもつ）のですが，球には内接しないものの合同な菱形だけでできている多面体には，２種類の菱形六面体を除いて実はあと２つ，１８８５年にフェドロフが発見した菱形二十面体と１９６０年にビリンスキーが発見した菱形十二面体（第２種）があります．

　菱形三十面体からあるゾーン（菱形の連なった帯）を抜き取って押しつぶすと菱形二十面体，菱形二十面体からあるゾーンを抜くと菱形十二面体（第２種）になるので，これらは各面の対角線の長さの比が黄金比の菱形からなる一連のゾーン多面体と考えることができます．

　各面の菱形の対角線の長さの比が黄金比１：１．６１８［＝（√５＋１）／２］の黄金六面体の場合，２つずつacute とobtuse が集まれば菱形十二面体（第２種），５つずつ集まれば菱形二十面体，１０個ずつ集まれば菱形三十面体となります．このうち，菱形二十面体と菱形三十面体は５重の対称軸をもっています．

　２種類の黄金菱面体を用いて，３次元を隙間なく埋める非周期的構造を作ることができるのですが，ペンローズのタイル貼りは，三次元空間を２種類の黄金菱面体で非周期的に埋めつくしたときの平面への投影図であり，５回対称性という物質の新しい状態を２次元的に模似したものになっています．

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　菱形三十面体からあるゾーンを抜くと，菱形二十面体や菱形十二面体（第２種）になるので，これらは各面の対角線の長さの比が黄金比の菱形からなる一連のゾーン多面体と考えることができます．菱形のすべての稜は２方向，菱形六面体のすべての稜は３方向，菱形十二面体では４方向，菱形三十面体では６方向を向いているのですが，菱形二十面体では５方向，菱形十二面体（第２種）では４方向を向くことになります．

　一般にすべての稜がｎ方向を向くとき，面数はｆ＝ｎ（ｎ−１）となります．そのうち，ゾーン面は２枚ずつ増やせるので２（ｎ−１）面，天井面と床面はそれぞれ（ｎ−１）（ｎ−２）／２面で

　　２（ｎ−１）＋２（ｎ−１）（ｎ−２）／２＝ｎ（ｎ−１）

という構成になっています．

　　ｆ＝ｎ（ｎ−１）＝２，６，１２，２０，３０，４２，５６，・・・

　　ｅ＝２ｎ（ｎ−１）

　　ｖ＝ｎ（ｎ−１）＋２

　　ｎ　　　ゾーン　　　天井床　　　　ｆ　　　　ｅ　　　　ｖ

　　３　　　　　４　　　　　２　　　　６　　　１２　　　　８

　　４　　　　　６　　　　　６　　　１２　　　２４　　　１４

　　５　　　　　８　　　　１２　　　２０　　　４０　　　２２

　　６　　　　１０　　　　２０　　　３０　　　６０　　　３２

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