【４】ケプラー八角星の極値性

　Ｋ・Ｓ多面体がケプラーの四面体のとき，立方体の中心ｃ＝（１／２，１／２，１／２）およびｘ＝（ｘ1，ｘ2，ｘ3）に対して，Ｌ∞ノルム

　　‖ｘ−ｃ‖∞＝ｍａｘ（ｘ1−１／２，ｘ2−１／２，ｘ3−１／２）＜１／６

となる開立方体とケプラーの八角星は共通集合をもたないという重要な性質が知られている．

　それに対して，Ｋ・Ｓ多面体がケプラーの四面体でないならば，軌道は

　　‖ｘ−ｃ‖∞＜１／６

の中に入り込むことになる．この開立方体はそれに外接する開球

　　（ｘ1−１／２）^2＋（ｘ2−１／２）^2＋（ｘ3−１／２）^2＜３／６^2＝１／１２

で置き換えても正しい．

　任意のＫ・Ｓ多面体に対して，この認容的な範囲を可能な限り大きくすることを試みると

　　‖ｘ−ｃ‖∞＜１／６

が証明される．

　２次元におけるケプラーの八角星の類似物は，頂点が単位正方形の辺の中点である正方形で，その場合，ｃ＝（１／２，１／２）およびｘ＝（ｘ1，ｘ2）に対して，開正方形

　　‖ｘ−ｃ‖∞＜１／４

あるいは開球

　　（ｘ1−１／２）^2＋（ｘ2−１／２）^2＜２／４^2＝１／８

が最大認容的になる．

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　ところで，スタインハウスが発見した閉六角形と閉八角形の２つの軌道に共通する特徴は立方体に内接する正四面体の辺上（ケプラーの八角星）を通るということである．これらは最大認容的開立方体

　　‖ｘ−ｃ‖∞＜１／３

に巻きつく巡回軌道になっている．

　問題をｎ次元に一般化すると，ｎ次元立方体（ｎ＝２は正方形，ｎ＝３は立方体）とｋ次元Ｋ・Ｓ多面体（ｋ＝１，ｋ＝ｎ−１，Ｋ・Ｓ多角形はｋ＝１，Ｋ・Ｓ多面体はｋ＝２）に対して

　　‖ｘ−ｃ‖∞＜（１／２−ｋ／２ｎ）

　　ｎ＝２，ｋ＝１→１／２−ｋ／２ｎ＝１／４

　　ｎ＝３，ｋ＝１→１／２−ｋ／２ｎ＝１／３

　　ｎ＝３，ｋ＝２→１／２−ｋ／２ｎ＝１／６

が成り立つことが証明されている．

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