一般の長方形ビリヤードの周期性について考えると，長方形ビリヤードが周期的となるための条件は軌道方向（ｔａｎθ）が有理数であることである．軌道方向が無理数の場合，軌道は非周期的となり軌道が領域を埋めつくす（エルゴード的）．それに対し，周期軌道では軌道が領域を埋めつくすことはない．周期軌道は無数に考えられるが，非周期軌道は周期軌道より圧倒的に多数を占めるのである．

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【１】クロネッカー・ワイルの定理

　クロネッカーの稠密定理とそれに密接に関連したワイルの一様分布定理により，長方形ビリヤード問題に幾何学的証明を与えることができる．→コラム「無理数・代数的数・超越数（その１０）」参照

　無理数γを与えたとき，ｎγの非整数部分｛ｎγ｝＝ｎγ−［ｎγ］のｎ＝１，２，３，・・・としたときの分布について何がいえるであろうか？

　　ｎγ＝［ｎγ］＋｛ｎγ｝

［１］γが有理数であれば｛ｎγ｝は有限個の相異なる値しかとらない

（証）γ＝ｐ／ｑならば，この数列の最初の第ｑ項までは

　　｛ｐ／ｑ｝，｛２ｐ／ｑ｝，・・・，｛（ｑ−１）ｐ／ｑ｝，｛ｑｐ／ｑ｝＝０

そして第ｑ＋１項は

　　｛（ｑ＋１）ｐ／ｑ｝＝｛１＋ｐ／ｑ｝＝｛ｐ／ｑ｝

以後，これの繰り返しとなる．

［２］γが無理数であれば｛ｎγ｝の値はすべて異なる

（証）｛ｎ1γ｝＝｛ｎ2γ｝と仮定する．このとき，（ｎ1−ｎ2）γは整数→γは有理数となり矛盾．

［３］γが無理数であれば｛ｎγ｝は区間［０，１］において稠密である（クロネッカーの定理）

［４］γが無理数であれば｛ｎγ｝は区間［０，１）において一様分布する（ワイルの定理）

　ワイルの規準とは，

　　『［０，１）内の実数列ξ1，ξ2，・・・が一様分布するには，すべての整数ｋに対して，Ｎ→∞のとき

　　１／ＮΣｅｘｐ（２πｉｋξn）→０

が成立するときに限られる』というものである．

　ワイルの規準を用いることにより，以下の結果が示される．

［５］γが無理数であれば｛ｎ^2γ｝は区間［０，１）で一様分布する

［６］Ｐ（ｘ）＝ｃnｘ^n＋ｃn-1ｘ^n-1＋・・・＋ｃ1ｘ＋ｃ0において，ｃ1，・・・，ｃnのうち少なくともひとつが無理数であるとすると，｛Ｐ（ｎ）｝は区間［０，１）で一様分布する

［７］ｓが整数でないならば｛ａｎ^s｝は区間［０，１）で一様分布する

　ところが，

［８］｛ａｌｏｇｎ｝はいかなるａに対しても一様分布しない

［９］γn＝｛（（１＋√５）／２）^n｝とする．γnは［０，１］で一様分布しない

　任意の無理数γを与えたとき，γ^nの非整数部分｛γ^n｝のｎ＝１，２，３，・・・としたときの分布については，どのようなより強い結果，より深い結果が得られるのであろうか？

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