今回のコラムでは「閉路」について考えてみたい．

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【１】長方形ビリヤード

［１］（ｍ，ｎ）が公約数をもてば閉路は存在する．たとえば（ｍ，ｎ）＝（１５，１０）で，（０，９）からスタートとした場合．

［２］（ｍ，ｎ）が公約数をもたなければ必ず隅に到達するので閉路は存在しない．たとえば（ｍ，ｎ）＝（１５，１１）で，（０，９）からスタートとした場合．

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【２】直方体リボン

［１］（ｌ，ｍ，ｎ）が公約数をもてば閉路は存在する．たとえば（ｌ，ｍ，ｎ）＝（６，８，４）で，（１，０，０）からスタートして，底面の（６，５，０）を通る場合．

［２］（ｌ，ｍ，ｎ）が公約数をもてない場合でも，閉路が存在するときがある．たとえば（ｌ，ｍ，ｎ）＝（６，８，５）で，（１，０，０）からスタートして，底面の（６，５，０）を通る場合．

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［２］の判定法はどうなっているのだろうか？

　（ｍ，ｎ）の大きい方から小さい方を引くことを，変化がなくなるまで続ける．最終的に（１，０）になれば最初の２つの数は互いに素ということになる．

　たとえば（４２，３３）→（３，０）であるから互いに素ではない．

　たとえば（４２，３１）→（１，０）であるから互いに素である．

　これを（ｌ，ｍ，ん）に一般化する．

大きい数から小さい２数を引くことを，変化がなくなるまで続ける．最終的に（１，０，０）または（１，１，−１）または（１，２，−１）になれば最初の３つの数は互いに直方体的に素ということになり，閉路をもたないことが判定できるのである．（それ以外の場合は閉路をもつ）．

　（９，２６，１５）→（１，２，−１）→閉路をもたない（隅に到達する）

　（５，６，８）→（３，４，−３）→閉路をもつ

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