（その２３２）（その２３３）を補足しておきたい．

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（その２３２）

　球の経路長はｍ，ｎの最小公倍数となることがわかる．たとえば（ｍ，ｎ）＝（６，９）の場合の経路長は１８である．

　逆にいうと，無理数たとえば（ｍ，ｎ）＝（√７０，６）の場合，公倍数は存在しないから経路は永遠に続くことになる．そして，軌道が領域を稠密に埋め尽くす（エルゴード的）．

　稠密に埋め尽くすとはいっても，通過しない点は存在しないということではなく，通過しない点は無数に存在するのである．

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（その２３３）

　直方体の外側にリボンを巻き付ける問題を考える．（ｌ，ｍ，ｎ）のどれかが無理数のとき，経路は永遠に続くことになるように思える．しかし，実際はそうはならない．

［１］（ｌ，ｍ，ｎ）＝（√２，π，ｅ）のとき，（０，０，０）からスタートとして，底面の（√２，√２，０）を通る場合は（０，０，０）に戻る．

［２］（ｌ，ｍ，ｎ）＝（√２，ｅ，π）のとき，（０，０，０）からスタートとして，底面の（√２，√２，０）を通る場合は経路は永遠に続く．（とはいっても，直方体の外側を稠密に埋め尽くすのではなく，直方体に一部だけを通るのである．

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［参］ジム・ヘンリー「おいしい数学」岩波書店

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