糸健太郎先生（中部大）ご自身は双曲空間のビリヤード問題を取り上げられた。ここでは双曲空間ではなく、ユークリッド空間のビリヤード問題を解説する。

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【１】Ｋ・Ｓ多面体の表面積

　最も簡単なＫ・Ｓ多面体

　　ｘ1＝＜ｔ＞

　　ｘ2＝＜ｓ＞

　　ｘ3＝＜１−ｔ−ｓ＞

の臨界平面はｘ1＋ｘ2＋ｘ3＝１であるから，１辺の長さ１の立方体に内接する正四面体になる．１辺の長さ√２の正四面体であるから，表面積は２√３である．

　立方体に正四面体を内接させることができることは，最初ケプラーにより指摘されたことからケプラー四面体と呼ばれる．また，立方体に２個の正四面体を天地逆転させて重ねて内接させた相貫体にはケプラー八角星（星形八面体）という名前がつけられている．ケプラー八角星を通常の多面体としてみると表面積は３√３となるが，ケプラー四面体の相貫体（臨界平面の和集合）としてみると，表面積は２√３×２＝４√３となる．

　今回のコラムでは

　　ｘ1＝＜ｔ＞

　　ｘ2＝＜ｓ＞

　　ｘ3＝＜ａ−ｔ−ｓ＞　　　（０＜ａ＜１）

を取り扱うが，このＫ・Ｓ多面体の相貫体の表面積はａに依存せず，４√３になるという．ａ→０またはａ→１ならば，２重に覆われたケプラー四面体に帰着されるというわけである．

　たとえば，ａ＝１／２の場合の臨界平面は

　　ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＝１／２　　　→　１辺の長さ√２／２の正三角形（面積：√３／８）

となるが，

　　ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＝１／２＋１　→　１辺の長さ√２／２の正六角形（面積：６√３／８）

　　ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＝１／２＋２　→　１辺の長さ√２／２の正三角形（面積：√３／８）

を考えることによって，このＫ・Ｓ多面体の相貫体のうち，８枚は正三角形，４枚は正六角形をもつ閉（自己交差）多面体になることがわかる．その表面積は√３×４＝４√３である．

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