糸健太郎先生（中部大）ご自身は双曲空間のビリヤード問題を取り上げられた。ここでは双曲空間ではなく、ユークリッド空間のビリヤード問題を解説する。

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【２】正方形ビリヤード問題

　クロネッカーの稠密定理は１次元の定理であるが，２次元に拡張することによって長方形ビリヤード問題に幾何学的証明を与えることができる．

　正方形のビリヤード台（０≦ｘi≦１）を考え，点ｘ＝（ｘ1，ｘ2）の初期の直線運動を

　　ｘ1＝ｖ1ｔ＋ａ1

　　ｘ2＝ｖ2ｔ＋ａ2

とする．ｔ：時間，初期位置ａ＝（ａ1，ａ2），初期速度ｖ＝（ｖ1，ｖ2）

　東西方向の壁にぶつかるときは南北方向の運動量の向きだけが逆になり，南北方向の壁にぶつかるときには東西方向の運動量の向きだけが逆になる．したがって，どんな軌道であろうと４通りの向きにしかならないのでこの運動は完全に予測可能である．

　　＜ｘ＞＝｜ｘ｜　　　　　（−１≦ｘ≦１のとき）

　　＜ｘ＋２＞＝＜ｘ＞　　　（すべての実数ｘについて）

で定義される関数を用いると，初期運動に対するビリヤードボールの運動は

　　ｘ1＝＜ｖ1ｔ＋ａ1＞

　　ｘ2＝＜ｖ2ｔ＋ａ2＞　　　（−∞＜ｔ＜∞）

で表される．

　ある位置からある角度でビリヤードの球を発射させると，何回か壁にあたった後，最初と同じ位置・同じ角度で戻ってくる場合がある．ｎ回壁にあった後，同じ状態に戻る場合をｎ周期軌道と呼ぶことにすると，与えられたｎに対して発射角度を求めるというのはおなじみのビリヤード問題であろう．このとき，軌道が閉多角形であるための必要十分条件は，ｖ1，ｖ2が２つの有理数に比例していることである．

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