1/p^jq^j=1/(p+q)^j(1/p^j+1/q^j)+a/(p+q)^(j+1)(1/p^(j-1)+1/q^(j-1))+・・・+b/(p+q)^(2j-1)(1/p^(1)+1/q^(1)) となるようであるが係数a,b,・・・はいかに？

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1

1,2

1,3,6

1,4,10,20はベル数にもスターリング数にもなっていないが、よく見るとパスカルの三角形の中に現れている。

したがって、次は

1,5,15,35,70

になるはずである。

１　　１　　　　　　　　　　　　　　　　　奇数２，偶数０

１　　２　　１　　　　　　　　　　　　　　奇数２，偶数１

１　　３　　３　　１　　　　　　　　　　　奇数４，偶数０

１　　４　　６　　４　　１　　　　　　　　奇数２，偶数３

１　　５　　10　　10　　５　　１　　　　　奇数４，偶数２

１　　６　　15　　20　　15　　６　　１　　奇数４，偶数３

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1/p^5q^5=1/(p+q)^5(1/p^5+1/q^5)+5/(p+q)^6(1/p^4+1/q^4)+15/(p+q)^7(1/p^3+1/q^3)+35/(p+q)^8(1/p^2+1/q^2)+70/(p+q)^9(1/p+1/q)

検算

(p+q)^4・(p^5+q^5)/p^5q^5 +5(p+q)^3・(p^4+q^4)/p^4q^4 +15(p+q)^2 ・(p^3+q^3)/p^3q^3+35(p+q)(p^2+q^2)/p^2q^2+70(p+q)/pq

(p+q)^3・(p^5+q^5)/p^5q^5 +5(p+q)^2・(p^4+q^4)/p^4q^4 +15(p+q) ・(p^3+q^3)/p^3q^3+35(p^2+q^2)/p^2q^2+70/pq

この段階で(p+q)^8倍になっている

(p+q)^3・(p^5+q^5) +5(p+q)^2・pq(p^4+q^4) +15(p+q) ・p^2q^2(p^3+q3)+35p^3q^3(p^2+q^2)+70p^4q^4

この段階でp^5q^5(p+q)^8倍になっている・・・したがってこれが(p+q)^8になればよい

(p3+3p^2q+3pq^2+q^3)・(p^5+q^5) +5(p^2+2pq+q^2)・(p^5q+pq^5) +15(p+q) ・(p^5q^2+p^2q^5)+35(p^5q^3+p^3q^5)+70p^4q^4

p^8+3p^7q+3p^6q^2+p^5q^3+p^3q^5+3p^2q^6+3pq^7+q^8+5p^7q+5p^3q^5+10p^6q^2+10p^2q^6+5p^5q^3+5pq^7+15p^6q^2+15p^3q^5+15p^5q^3+15p^2q^6+35p^5q^3+35p^3q^5+70p^4q^4

=p^8+8p^7q+28p^6q^2+56p^5q^3+70p^4q^4+56p^3q^5+28p^2q^6+8pq^7+q^8=(p+q)^8

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一般には

1/p^jq^j=(j-1,0)/(p+q)^j(1/p^j+1/q^j)+(j,1)/(p+q)^(j+1)(1/p^(j-1)+1/q^(j-1))+(j+2,2)/(p+q)^(j+1)(1/p^(j-1)+1/q^(j-1))・・・+(j+(j-1),j-1)/(p+q)^(2j-1)(1/p^(1)+1/q^(1))

になると思われる。

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