カタラン数は三角形分割数や木の個数の数え上げに用いられる．

　　Ｃn＝（２ｎ，ｎ）／（ｎ＋１）＝（２ｎ，ｎ）−（２ｎ，ｎ−１）

n 0,1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13

Cn=1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012,742900

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【１】漸近値

　スターリングの近似式から　

　　Ｃn〜４^n／ｎ^3/2√π｛１−９／８ｎ＋１４５／１２８ｎ^2−１１５５／１０２４ｎ^3＋３６９３６／３２７５８ｎ^4＋Ｏ（ｎ^-5）｝

　　Ｃn-1／Ｃn＝（ｎ＋１）／（４ｎ−２）

であるが，｜ｋ｜≦ｎ／２のとき

　　Ｃn-k／Ｃn＝１／４^k｛１＋３ｋ／２ｎ＋Ｏ（ｋ^2／ｎ^2）｝

　　Ｃn-1＋Ｃn-2＋・・・＋Ｃ1＝Ｃn（Ｃn-1／Ｃn＋Ｃn-2／Ｃn＋・・・＋Ｃ1／Ｃn）＝Ｃn／３｛１＋２／ｎ＋Ｏ（１／ｎ^2）｝

1

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【２】母関数

　　Ｃ（ｚ）＝１＋Ｃ1ｚ＋Ｃ2ｚ^2＋・・・＝｛１−（１−４ｚ）^1/2｝／２ｚ

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