■カタラン数とニュートンの一般化二項級数（その３４）
Ｓk＝１^k＋２^k＋３^k＋・・・＋ｎ^k
とおく．
（ｘ＋１）^k＝ｘ^k＋（ｋ，１）ｘ^k-1＋（ｋ，２）ｘ^k-2＋・・・＋（ｋ，ｋ−１）ｘ＋１
（ｘ＋１）^k−ｘ^k＝（ｋ，１）ｘ^k-1＋（ｋ，２）ｘ^k-2＋・・・＋（ｋ，ｋ−１）ｘ＋１
ｘ＝１，２，３，・・・，ｎとして，両辺を加えると
（ｎ＋１）^k−１＝（ｋ，１）Ｓk-1＋（ｋ，２）Ｓk-2＋・・・＋（ｋ，ｋ−１）Ｓ1＋ｎ
（ｎ＋１）^k−（ｎ＋）＝（ｋ，１）Ｓk-1＋（ｋ，２）Ｓk-2＋・・・＋（ｋ，ｋ−１）Ｓ1
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［１］ｋ＝２を代入
（ｎ＋１）^2−（ｎ＋１）＝２Ｓ1
Ｓ1＝ｎ（ｎ＋１）／２
［２］ｋ＝３を代入
（ｎ＋１）^3−（ｎ＋１）＝３Ｓ2＋３Ｓ1
ｎ（ｎ^2＋３ｎ＋２）＝３Ｓ2＋３Ｓ1
Ｓ2＝｛２ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）−３ｎ（ｎ＋１）｝／６
Ｓ2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６
［３］ｋ＝４を代入
（ｎ＋１）^4−（ｎ＋１）＝４Ｓ3＋６Ｓ2＋４Ｓ1
ｎ（ｎ^3＋４ｎ^2＋６ｎ＋３）＝４Ｓ3＋ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）＋２ｎ（ｎ＋１）
ｎ（ｎ＋１）（ｎ^2＋３ｎ＋３）＝４Ｓ3＋ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）＋２ｎ（ｎ＋１）
ｎ（ｎ＋１）（ｎ^2＋３ｎ＋３−２ｎ−１−２）＝４Ｓ3
ｎ^2（ｎ＋１）^2／４＝Ｓ3
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